Punktw./gleichm. Konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f_n,g_n,h_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] seien für alle n [mm] \in \IN [/mm] definiert durch
[mm] f_n(x):=\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}, g_n(x):=e^{-nx^2}, h_n(x):=\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2}.
[/mm]
Untersuchen Sie die Funktionenfolgen [mm] (f_n), (g_n), (h_n) [/mm] jeweils auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
Hallo, ich hab noch ziemlich Probleme mit punktweiser/gleichmäßiger Konvergenz, wäre nett, wenn sich das mal jemand anschauen könnte.
Also [mm] f_n(x)=\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}=\bruch{1}{\bruch{1}{x^{2n}}+1} \to \bruch{1}{0+1} [/mm] für n [mm] \to \infty, x\not= [/mm] 0, also konvergiert [mm] f_n [/mm] punktweise gegen f(x)=1, oder konvergiert [mm] f_n [/mm] nicht punktweise, weil [mm] f_n [/mm] im Fall x=0 nicht konvergiert?
[mm] g_n(x)=e^{-nx^2}=\bruch{1}{e^{nx^2}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x = 0 \\ 0, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases}, [/mm] also konvergiert [mm] g_n [/mm] punktweise gegen g(x)=1 bzw. g(x)=0?
[mm] h_n(x)=\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2}=\wurzel{\bruch{1}{n}+\bruch{x^4}{x^2}}= \wurzel{\bruch{x^2}{x^2n}+\bruch{x^4n}{x^2n}}= \wurzel{\bruch{x^2+x^4n}{x^2n}}=\wurzel{\bruch{\bruch{x^2}{n}+x^4}{x^2}} \to \wurzel{\bruch{0+x^4}{x^2}}=\wurzel{x^2}=x [/mm] (hätte man eigentlich auch direkt an der ersten Wurzel sehen können  ) also konvergiert [mm] h_n [/mm] punktweise gegen h(x)=x.
Bei der glm. Konvergenz komme ich noch schlechter zurecht, also ich wollte das mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup|f_n(x)-f(x)|=0 [/mm] machen. Bei der ersten Aufgabe habe ich dann folgendes raus:
[mm] |f_n(x)-f(x)|=|\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}-1|=|\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}-bruch{1+x^{2n}}{1+x^{2n}}|= |\bruch{x^{2n}-1-x^{2n}}{1+x^{2n}}|=|\bruch{1}{1+x^{2n}}| [/mm] wenn nun n [mm] \to \infty [/mm] geht, ist das Ganze eine Nullfolge, keinesfalls ist aber dann das Supremum 0, also konvergiert [mm] f_n [/mm] nicht gleichmäßig? oder muss ich das anders machen?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
mfg
|
|
| |
|
> [mm]f_n,g_n,h_n[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] seien für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> definiert durch
> [mm]f_n(x):=\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}, g_n(x):=e^{-nx^2}, h_n(x):=\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2}.[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Funktionenfolgen [mm](f_n), (g_n), (h_n)[/mm]
> jeweils auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
> Hallo, ich hab noch ziemlich Probleme mit
> punktweiser/gleichmäßiger Konvergenz, wäre nett, wenn sich
> das mal jemand anschauen könnte.
> Also
> [mm]f_n(x)=\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}=\bruch{1}{\bruch{1}{x^{2n}}+1} \to \bruch{1}{0+1}[/mm]
> für n [mm]\to \infty, x\not=[/mm] 0, also konvergiert [mm]f_n[/mm] punktweise
> gegen f(x)=1, oder konvergiert [mm]f_n[/mm] nicht punktweise, weil
> [mm]f_n[/mm] im Fall x=0 nicht konvergiert?
Es ist zwar richtig, dass [mm] $f_n(x)\rightarrow [/mm] 0$ für $|x|>1$, aber Du hast die Fälle $|x|=1$ und $|x|<1$ vergessen.
>
> [mm]g_n(x)=e^{-nx^2}=\bruch{1}{e^{nx^2}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x = 0 \\ 0, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases},[/mm]
> also konvergiert [mm]g_n[/mm] punktweise gegen g(x)=1 bzw. g(x)=0?
Ich glaube zu verstehen, was Du sagen willst. Und dies scheint mir richtig: für $x=0$ konvergiert die Folge [mm] $g_n(x)$ [/mm] gegen $1$ und für [mm] $x\neq [/mm] 0$ konvergiert sie gegen $0$.
Weil die [mm] $g_n(x)$ [/mm] stetig sind, die Grenzfunktion aber nicht stetig ist (an der Stelle $x=0$), kann keine gleichmässige Konvergenz vorliegen.
>
> [mm]h_n(x)=\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2}=\wurzel{\bruch{1}{n}+\bruch{x^4}{x^2}}= \wurzel{\bruch{x^2}{x^2n}+\bruch{x^4n}{x^2n}}= \wurzel{\bruch{x^2+x^4n}{x^2n}}=\wurzel{\bruch{\bruch{x^2}{n}+x^4}{x^2}} \to \wurzel{\bruch{0+x^4}{x^2}}=\wurzel{x^2}=x[/mm]
Beinahe, aber doch nicht ganz, denn es ist [mm] $\sqrt{x^2}=\red{|}x\red{|}$.
[/mm]
> (hätte man eigentlich auch direkt an der ersten Wurzel
> sehen können ) also konvergiert [mm]h_n[/mm] punktweise gegen
> h(x)=x.
>
> Bei der glm. Konvergenz komme ich noch schlechter zurecht,
Ich vermute, kann es aber nicht wissen, dass Du den Satz benutzen darfst, dass die Grenzfunktion einer gleichmässig konvergenten Folge stetiger Funktionen stetig ist. Falls Du also zeigen kannst, dass die (punktweise) Grenzfunktion nicht stetig ist, so kann auch keine gleichmässige Konvergenz vorliegen.
> also ich wollte das mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup|f_n(x)-f(x)|=0[/mm]
> machen. Bei der ersten Aufgabe habe ich dann folgendes
> raus:
>
> [mm]|f_n(x)-f(x)|=|\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}-1|=|\bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}}-\bruch{1+x^{2n}}{1+x^{2n}}|= |\bruch{x^{2n}-1-x^{2n}}{1+x^{2n}}|=|\bruch{1}{1+x^{2n}}|[/mm]
> wenn nun n [mm]\to \infty[/mm] geht, ist das Ganze eine Nullfolge,
> keinesfalls ist aber dann das Supremum 0, also konvergiert
> [mm]f_n[/mm] nicht gleichmäßig? oder muss ich das anders machen?
Ist $f(x)$ überhaupt stetig? - Falls nein: kann keine gleichmässige Konvergenz vorliegen.
Fazit: einziger Kandidat für gleichmässige Konvergenz scheint mir die Folge der [mm] $h_n$ [/mm] zu sein (denn nur $h(x)=|x|$ ist stetig).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Mi 14.05.2008 | | Autor: | rainman_do |
Ah, ok. Vielen Dank, jetzt ist mir so einiges klarer.
|
|
|
|
