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| Aufgabe | | Man berechne die Koordinaten der punktsymmetrisch zum Schnittpunkt S der beiden Asymptoten liegenden Kurvenpunkte P und P', für welche Entfernung PP'ein Extrema annimmt und weise dessen Art nach. Wie groß ist die Entfernung ? |
Hallo,
in der Aufgabe geht es um die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^2+2x-4}{x-2} [/mm]
Die Asymptote a(x)= x+4 ist gegeben, die zweite Asymptote ist die Polstelle bei x=2. Der Schnittpunkt der beiden Asymptoten liegt bei S(2/6). Soweit konnte ich die Aufgabe berechnen.
Wie finde ich nun aber die Punkte P und P'heraus ? Ich habe mit der Formel
-f(x+h)+y = f(x-h)-y versucht herauszubekommen, ob der Graph allgemein punktsymmetrisch zum Punkt S ist, das ist er aber nicht.
Jemand eine Idee ? Bzw welche Überlegungen muss ich anstellen ? Kann ein Graph nur mit zwei Graphenpunkte punktsymmetrisch zum Punkt S sein ? Ich kannte bisher nur Punktsymmetrie zum Punkt x/y, die für den kompletten Graphen gilt.
Besten Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man berechne die Koordinaten der punktsymmetrisch zum
> Schnittpunkt S der beiden Asymptoten liegenden Kurvenpunkte
> P und P', für welche Entfernung PP'ein Extrema annimmt und
> weise dessen Art nach. Wie groß ist die Entfernung ?
> Hallo,
> in der Aufgabe geht es um die Funktion f(x)=
> [mm]\bruch{x²+2x-4}{x-2}[/mm]
> Die Asymptote a(x)= x+4 ist gegeben, die zweite Asymptote
> ist die Polstelle bei x=2. Der Schnittpunkt der beiden
> Asymptoten liegt bei S(2/6). Soweit konnte ich die Aufgabe
> berechnen.
> Wie finde ich nun aber die Punkte P und P'heraus ? Ich
> habe mit der Formel
> -f(x+h)+y = f(x-h)-y versucht herauszubekommen, ob der
> Graph allgemein punktsymmetrisch zum Punkt S ist, das ist
> er aber nicht.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Doch, der Graph ist punktsymmetrisch.
Du wirst Dich irgendwie verrechnet haben - und ich habe den Eindruck, daß damit Dein Problem schon geklärt ist.
(Weiter geht es so: schreibe für P(2+x|...) und P'(2-x| ...) den Abstand auf, und finde das x, für welches dieser extrem wird.)
Wenn Du bzgl. der Punktsymmetrie weiterhin ein Problem hast, poste Deine Rechnung mit.
Gruß v. Angela
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Erstmal vielen vielen Dank für die schnelle Antwort!
Habe die Punktsymmetrie noch mal überprüft, du hast recht, es liegt Punktsymmetrie vor, habe einen Vorzeichenfehler beim Klammerauflösen gemacht.
P(2+x/f(2+x)) ist mir noch nicht ganz klar. die x-Koordinate heisst 2+x, weil x den Abstand in x-Richtung auf den Graphen zu von der Stelle S aus ausdrückt ? Bzw bei +x nach rechts und -x nach links, richtig ?
Den Abstand würde ich nun durch die Differenzen der x- und y-Werte ermitteln, (google schlägt mir das so vor) also:
[mm] x_{2}-x_{1} [/mm] = 2+x-(2-x) = 2x
[mm] y_{2}-y_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x²+6x+4}{-x} [/mm] - [mm] \bruch{x²-6x+4}{x} [/mm] = -12x
Das ganze dann quadrieren und die Wuzel ziehen:
Abstand= [mm] \wurzel [/mm] {(2x)² + (-12x)²} = [mm] \wurzel{148x²} [/mm] bzw. x* [mm] \wurzel{148}
[/mm]
Das ist dann also mein Abstand zwischen P und P`, ist das so richtig ?
Wenn der Abstand extrem werden soll, muss ich also von [mm] \wurzel{148x²} [/mm] die erste Ableitung bilden.
Ich hoffe das ist soweit richtig
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Fr 19.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Erstmal vielen vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Habe die Punktsymmetrie noch mal überprüft, du hast
> recht, es liegt Punktsymmetrie vor, habe einen
> Vorzeichenfehler beim Klammerauflösen gemacht.
>
> P(2+x/f(2+x)) ist mir noch nicht ganz klar. die
> x-Koordinate heisst 2+x, weil x den Abstand in x-Richtung
> auf den Graphen zu von der Stelle S aus ausdrückt ? Bzw
> bei +x nach rechts und -x nach links, richtig ?
>
> Den Abstand würde ich nun durch die Differenzen der x- und
> y-Werte ermitteln, (google schlägt mir das so vor) also:
> [mm]x_{2}-x_{1}[/mm] = 2+x-(2-x) = 2x
> [mm]y_{2}-y_{1}[/mm] = [mm]\bruch{x²+6x+4}{-x}[/mm] - [mm]\bruch{x²-6x+4}{x}[/mm] =
> -12x
Das ist korrekt. Der Abstand zweier Punkte [mm] P(x_{p}/y_{p}) [/mm] und [mm] Q(x_{q}/y_{q}) [/mm] ist:
[mm] d=\wurzel{(x_{p}-x_{q})^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}}
[/mm]
Bei deiner y-Kordinate ist aber was "schiefgegangen"
[mm] \overbrace{\bruch{(2+x)^2+2(2+x)-4}{(2+x)-2}}^{(f(2+x)}-\overbrace{\bruch{(2-x)^2+2(2-x)-4}{(2-x)-2}}^{(f(2-x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{4+4x+x^2+4+2x-4}{x}+\bruch{4-4x+x^2+4-2x-4}{-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^2+6x+4}{x}\green{-}\bruch{x^2-6x+4}{\green{+}x}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x^2+6x+4)\green{-}(x^2-6x+4)}{x}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^2+6x+4-x^2+6x-4}{x}
[/mm]
[mm] =\bruch{12x}{x}=12
[/mm]
>
> Das ganze dann quadrieren und die Wuzel ziehen:
>
> Abstand= [mm]\wurzel[/mm] {(2x)² + (-12x)²} = [mm]\wurzel{148x²}[/mm] bzw.
> x* [mm]\wurzel{148}[/mm]
> Das ist dann also mein Abstand zwischen P und P', ist das
> so richtig ?
>
> Wenn der Abstand extrem werden soll, muss ich also von
> [mm]\wurzel{148x²}[/mm] die erste Ableitung bilden.
>
> Ich hoffe das ist soweit richtig
Fast, mit der oberen Korrektur ist die zu minimierende Funktion:
[mm] d=\wurzel{(2x)^{2}+12^{2}}=\wurzel{4x^{2}+144}
[/mm]
Beachte auch, dass x der Abstand zu 2 ist, die Punkte liegen also bei R(2-x/...) und S(2+x/...)
Marius
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Ich hab mal wieder Klammerfehler gemacht, habe es noch einmal nachgerechnet, komme dann auch auf 12.
Nachdem ich nun die erste Ableitung von [mm] d=\wurzel{(2x)^{2}+12^{2}}=\wurzel{4x^{2}+144} [/mm] gebildet habe, komme ich auf d'= [mm] \bruch{1}{2}(4x²+114)8x
[/mm]
Meine Extremstelle liegt bei x=0, was einem Minimum entspricht, da die zweite Ableitung von d(0)=576 ergibt.
Vielen vielen vielen Dank für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Fr 19.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Ableitung passt so leider nicht.
Du hast:
[mm] d(x)=\wurzel{4x^{2}+144}
[/mm]
Die Ableitung musst du nun per  Kettenregel bestimmen
[mm] d'(x)=\underbrace{\bruch{1}{2\wurzel{4x^{2}+144}}}_{\text{Äußere Abl}}*\underbrace{8x}_{\text{Innere Abl.}}
[/mm]
[mm] =\bruch{8x}{2\wurzel{4x^{2}+144}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{\wurzel{4x^{2}+144}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{\wurzel{4(x^{2}+36)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{2\wurzel{x^{2}+36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x}{\wurzel{x^{2}+36}}
[/mm]
Die Schlussfolgereung, dass [mm] d(x)=0\gdw0=x [/mm] ist korrekt.
Marius
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hab ich:
[mm] d(x)=\wurzel{4x^{2}+144} [/mm] = [mm] (4x^2+144)^\bruch{1}{2}
[/mm]
d'= [mm] \bruch{1}{2} (4x^2+144)8x
[/mm]
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Hallo katastrophe!
Nein, das ist nicht richtig. M.Rex hat Dir doch soeben die Ableitung haarklein vorgerechnet.
Gruß vom
Roadrunner
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ich verstehe nicht, was an meiner Ableitung falsch sein soll. Wurzel ist doch dasgleich wie hoch einhalb. Und dann ist das Bilden der Ableitung wesentlich einfacher (für mich). Aber so langsam hab ich das Gefühl, ich würde die ganze Aufgabe nicht mehr verstehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 19.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du unteschlägst die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] im Exponenten
> hab ich:
> [mm]d(x)=\wurzel{4x^{2}+144}[/mm] = [mm](4x^2+144)^{\red{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
[mm] d'=\bruch{1}{2}\left((4x^2+144\right)^{\red{\bruch{1}{2}}-1}*8x
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left((4x^2+144\right)^{\red{-}\bruch{1}{2}}*8x
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
>
>
>
Marius
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> Die Schlussfolgereung, dass [mm]d(x)=0\gdw0=x[/mm] ist korrekt.
Hallo,
ich bin etwas besorgt, habe aber nicht alles verfolgt und zur Minute auch keine Zeit dazu.
Aber war man nicht damit gestartet, daß man das x gesucht hat für das P(2+x|...) und P'(2-x|...) extremalen Abstand haben?
Wenn das so ist, ist x=0 übel, denn es gibt gar keinen Punkt (2| ...) auf dem Graphen.
Gruß v. Angela
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> Bei deiner y-Kordinate ist aber was "schiefgegangen"
Hallo,
bei Deiner aber auch, Marius:
>
> [mm]\overbrace{\bruch{(2+x)^2+2(2+x)-4}{(2+x)-2}}^{(f(2+x)}-\overbrace{\bruch{(2-x)^2+2(2-x)-4}{(2-x)-2}}^{(f(2-x)}[/mm]
> [mm]=\bruch{4+4x+x^2+4+2x-4}{x}\red{+}\bruch{4-4x+x^2+4-2x-4}{-x}[/mm]
Das rotmarkierte Pluszeichen ist falsch, und ich fürchte, die Aufgabe wird mit einem Minus nicht gemütlicher.
Gruß v. Angela
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> Man berechne die Koordinaten der punktsymmetrisch zum
> Schnittpunkt S der beiden Asymptoten liegenden Kurvenpunkte
> P und P', für welche Entfernung PP'ein Extrema annimmt und
> weise dessen Art nach. Wie groß ist die Entfernung ?
> Hallo,
> in der Aufgabe geht es um die Funktion f(x)=
> [mm]\bruch{x^2+2x-4}{x-2}[/mm]
> Die Asymptote a(x)= x+4 ist gegeben, die zweite Asymptote
> ist die Polstelle bei x=2. Der Schnittpunkt der beiden
> Asymptoten liegt bei S(2/6). Soweit konnte ich die Aufgabe
> berechnen.
Hallo,
nachdem sich hier gestern mittlere Katastrophen ereignet haben (sollte Dein Name Programm sein?) und ich so wenig Zeit hatte, möchte ich die Sache nun doch ein bißchen voranbringen.
Der eingeschlagene Weg war ja prinzipiell richtig, bloß das Rechnen hatte nicht gut geklappt.
Der Abstand d zwischen zwei zum Punkt S(2|6) punktsymmetrischen Punkten P(2+x)|f(2+x)) und P'(2-x|f(2-x)) bekommen wir so:
[mm] \Delta [/mm] x=(2+x)-(2-x)=2x
[mm] \Delta [/mm] y= [mm] f(2+x)-f(2-x)=\bruch{4+4x+x^2+4+2x-4}{x} [/mm] - [mm] \bruch{4-4x+x^2+4-2x-4}{-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^2+6x+4}{x} [/mm] + [mm] \bruch{x^2-6x+4}{x}=\bruch{2x^2+8}{x}=2x+\bruch{8}{x}.
[/mm]
Nun kannst Du die Abstandsfunktion d aufstellen,
[mm] d(x)=\wurzel{ (2x)^2+(2x+\bruch{8}{x})^2}=2*\wurzel{ 2x^2+8+\bruch{16}{x^2}},
[/mm]
und jetzt kann das gewohnte Procedere mit Ableiten usw. anlaufen - vermutlich wird es unbequem sein.
Du kannst Dir die Sache vereinfachen, wenn Du Dir überlegst, daß d genau dort extremal sein wird, wo auch [mm] d^2 [/mm] extremal ist,
so daß Du statt d auch die Funktion [mm] D=d^2 [/mm] untersuchen kannst, also
[mm] D(x)=8*(x^2+4+\bruch{8}{x^2}), [/mm] und damit kommt man zügig zur Lösung.
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Ich möchte Dir auch noch einen weiteren "Trick" vorstellen:
Du hattest ja Punktsymmetrie zu S(2|6).
Statt die Funktion f zu untersuchen, habe ich diese so verschoben, daß S im Ursprung zu liegen kommt, also 2 nach links und 6 nach unten, und dann habe ich statt f die verschobene Funktion g untersucht.
Es ist [mm] g(x)=\bruch{(x+2)^2+2(x+2)-4}{(x+2)-2}-6=x+\bruch{4}{x}.
[/mm]
Nächste Überlegung: der Abstand zwischen den zum Ursprung punktsymmetrischen Punkten P(x|g(x)) und P'(-x|g(-x)) ist der doppelte Abstand des Abstandes von P zum Ursprung. Wenn ich wissen will, wo der Abstand der beiden Punkte extremal ist, kann ich ebenso ausrechnen, wo der Abstand von P zum Ursprung extremal ist.
Weiterhin kann man auch hier wieder die Extrema des Quadrates des Abstandes bestimmen, was darauf führt, daß die Funktion
[mm] D(x)=x^2+(x+\bruch{4}{x})^2 [/mm] zu optimieren ist.
Dieser Weg bietet weniger Möglichkeiten zum Verrechnen.
Ich hoffe, daß Du Deine Aufgabe nun mit Erfolg zum Ende bringen kannst.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank, vor allem für das Aufweisen der ganzen Alternativen. Super!
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