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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:31 Do 21.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi @all
Ich hab gerade eine ganz interessante Aufgabe gelöst und will sie hier nun als Übungsaufgabe rein stellen.
Ein Punkt P$(a,b)$ ist in der Ebene gegeben mit $0<a<b$. Es wird nun eine Sequenz [mm] $(x_n,y_n)$weiterer [/mm] Punkte nach folgender Vorschrifft hergestellt:
[mm] $x_0 [/mm] =a$ , [mm] $y_0=b$ [/mm] , [mm] $x_{n+1}=\wurzel{x_ny_{n+1}}$ [/mm] , [mm] $y_{n+1}=\wurzel{x_ny_n}$
[/mm]
Zeige, dass die Punktfolge gegen einen Punkt$(x,y)$ mit $x=y$ konvergiert und bestimme diesen Grenzwert lim x ; lim y!!!
Viel Spaß beim lösen der Aufgabe 
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Christian |
Hab leider keine Zeit, mich ausführlich dieser Aufgabe zu widmen, äußere aber die Vermutung, daß es sich bei lim n gegen unendlich (xn|yn) (man verzeihe mir diesen sehr saloppen Ausdruck) um P(1|1) handelt, da i.A. das Iterieren einer Funktion [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] zum Punkt P führt. Eigentlich dürfte die rekursive Definition von xn u. yn daran nichts ändern... ist aber wie gesagt nur eine Vermutung, nichts weiter. Sollte mir dennoch ein Geistesblitz auf die Schnelle kommen, werde ich euch diesen nach Möglichkeit nicht vorenthalten.
Post scriptum: Endlich mal wieder interessante Aufgaben hier!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Christian
Ganz so leicht geht die Aufgabe auch nicht (auch wenn ich mir nicht ganz sicher bin was du meinst)
Nimm dir zum Beispiel als Startpunkt den Punkt P(0,2|0,8). Wenn du die Sequenz für diesen Punkt herstellst, so wirst du schnell merken, dass der "Grenzwertige Punkt" gegen den die Sequenz konvergiert P'(x|x) die Bedingung 0,2<x<0,8 erfüllt (Es werden ja immer nur (geometrische)Mittelwerte gebildet). Entsprechend kann man auch (etwas anders und ausführlicher) zeigen, das lim x = lim y gilt.
Diese Aussage darf man übrigens nicht als gegeben ansehen, sondern muss sie erst beweisen (wenn dieser Beweis auch relativ einfach ist)!
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallöööle 
Ich habe mir die Aufgabe nun auch mal vorgenommen und habe eine kleine Idee. Um es nicht zu spannend zu machen hier das Ergebnis meiner Überlegungen. Leider habe ich wahnsinnige Probleme, das in halbwegs verständliche Form zu kriegen, aber ich kann's ja mal versuchen:
Die Folge konvergiert gegen das geometrische Mittel [mm] $\sqrt[3]{a^2\cdot b}$.
[/mm]
Ich betrachte zuerst die ersten Glieder der Folge:
[mm] $x_0=a, y_0=b$
[/mm]
[mm] $y_1=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt[2]{a^1\cdot b^1}$
[/mm]
[mm] $x_1=\sqrt{a\cdot\sqrt[2]{a^1\cdot b^1}}=\sqrt[2]{\sqrt[2]{a^2}\cdot\sqrt[2]{a^1\cdot b^1}}=\sqrt[4]{a^3\cdot b^1}$
[/mm]
[mm] $y_2=\sqrt[2]{\sqrt[4]{a^3\cdot b^1}\cdot\sqrt[2]{a^1\cdot b^1}}=\sqrt[2]{\sqrt[4]{a^3\cdot b^1}\cdot\sqrt[4]{a^2\cdot b^2}}=\sqrt[8]{a^5\cdot b^3}$
[/mm]
Es soll nun über Induktion über der Nummer $n$ des Folgegliedes gezeigt werden, dass der Wurzelexponent genau [mm] $2^n$ [/mm] beträgt. Dabei beginne ich die Zählung bei [mm] $y_1$. [/mm] Also entspricht das Glied [mm] $y_1$ [/mm] der Nummer 1, das Glied [mm] $x_1$ [/mm] der Nummer 2, das Glied [mm] $y_2$ [/mm] der Nummer 3 usw. Für das Glied 1 und 2 haben wir die Behauptung bereits gezeigt. Betrachten wir nun ein Glied $n+1$, wobei wir wissen, dass die Glieder $n$ und $n-1$ den Exponenten [mm] $2^n$ [/mm] bzw. [mm] $2^{n-1}$ [/mm] haben. Dann gilt für das Glied $n+1$ unter Setzen eines beliebigen Radikanden [mm] $r_n$: $a_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot a_{n-1}}=\sqrt[2]{\sqrt[2^n]{r_n}\cdot \sqrt[2^{n-1}]{r_{n-1}}}=\sqrt[2]{\sqrt[2^n]{r_n}\cdot\sqrt[2^n]{r_{n-1}^2}}=\sqrt[2^{n+1}]{r_n\cdot r_{n+1}^2}$. [/mm] Damit hat jedes Glied $n$ den Wurzelexponenten [mm] $2^n$, [/mm] q.e.d. Wir ersehen aus dem Induktionsschritt zudem, dass das Folgeglied $n-1$ quadriert wird, um auf den gleichen Wurzelexponenten wie [mm] $a_n$ [/mm] zu gelangen. Übertragen unsere Folge bedeutet dies die Verdopplung der Exponenten von $a$ und $b$. Wir wollen nun über Induktion zeigen, dass für ungerade Folgenglieder der Exponent von $a$ das Doppelte des Exponenten des Exponenten von $b$ abzüglich 1, und für gerade Folgenglieder das Doppelte zuzüglich 1 ist. Den Induktionsanfang dafür setzen wieder die ersten beiden Folgeglieder. Nehmen wir also an, dass das Glied $n-2$ eines ungerader Nummer, das Glied $n-1$ ein Glied gerade Nummer wäre, dann soll für das Glied $n+1$ wieder gelten, dass es ihre Exponenten die Eigenschaft für ungerade Folgeglieder besitzen. Sei [mm] $e_a(n)$ [/mm] der Exponent von $a$ im Glied $n$ und analog dazu [mm] $e_b(n)$ [/mm] der Exponent für $b$, so gilt: [mm] $e_b(n)=2\cdot e_b(n-2)+ e_b(n-1)$ [/mm] und nach Induktionsverankerung [mm] $e_a(n)=2\cdot e_a(n-2)+e_a(n-1)=2\cdot (2\cdot e_b(n-2)-1)+2\cdot e_b(n-1)+1=4\cdot e_b(n-2)-2+2\cdot e_b(n-1)+1=4\cdot e_b(n-2)+2\cdot e_b(n-1)-1$. [/mm] Betrachten wir nun [mm] $e_b(n)$ [/mm] und [mm] $e_a(n)$ [/mm] so stellen wir fest, dass: [mm] $e_a(n)=2\cdot e_b(n)-1$, [/mm] was zu zeigen war. Analog dazu sieht man auch ein, dass, falls $n-2$ ein gerades Glied und $n-1$ ein ungerade ist, das Glied $n$ wieder die gewünschte Eigenschaft aufweist. Den Beweis spare ich mir hier, da er völlig analog verläuft ("Ich habe einen wahrhaft wunderbaren Beweis, jedoch reicht der Platz hier nicht... " ). Wir haben also folgende Eigenschaften gezeigt:
-> Das Glied $n$ hat den Wurzelexponenten [mm] $2^n$.
[/mm]
-> Der Exponent von $a$ unterscheidet sich immer nur um eins vom zweifachen des Exponenten von $b$.
Zunächst müssen wir noch zeigen, dass die Summe der Exponenten von $a$ und $b$ genau [mm] $2^n$ [/mm] ergibt. Dies zeigt sich auch sehr leicht über vollständige Induktion, aber auch das spare ich mir hier, da es wirklich keine Schwierigkeit mehr darstellt. Verübelt es mir nicht :)
Und weiter geht es, der Beweis scheint kein Ende zu nehmen - ich hätte zu Beginn nicht gedacht, dass das so ein Krampf ist
Es fehlen nun noch zwei wichtige Schritte, die direkt zur Lösung führen:
1.) Es muss gezeigt werden, dass [mm] $2^n\pm [/mm] 1$ durch [mm] $e_b(n)$ [/mm] teilbar ist - genauer noch, dass [mm] $3\cdot e_b(n)=2^n$ [/mm] gilt.
2.) Dass [mm] $\sqrt[2^n]{a^{2 e_b(n)\pm 1}\cdot b^{e_b(n)}}-\sqrt[2^n\mp 1]{a^{2 e_b(n)}\cdot b^{e_b(n)}}$ [/mm] gegen Null konvergiert.
Die Forderung (1) folgt recht schnell aus der Tatsache, dass [mm] $e_a(n)+e_b(n)=2^n\gdw 3\cdot e_b(n)\pm 1=2^n$ [/mm] gilt. Für ungerade $n$ gilt das Minuszeichen und somit [mm] $3\cdot e_b(n)=2^n+1\gdw e_b(n)=\frac{2^n+1}{3}$. [/mm] Für gerade $n$ gilt das Pluszeichen, also [mm] $...\gdw e_b(n)=\frac{2^n-1}{3}$. [/mm]
Dies führt uns zur Lösung, indem wir nämlich für ungerade $n$ sowohl den Exponenten für $a$ als auch den Wurzelexponenten um eins erhöhen. Dann nämlich gilt: [mm] $a_n=\sqrt[2^n+1]{a^{2\cdot e_b(n)}\cdot b^{e_b(n)}}=\sqrt[2^n-1]{\left( a^2\cdot b \right) ^{e_b(n)}}=\sqrt[3]{a^2\cdot b}$. [/mm] Für gerade $n$ dekrementieren wir beide Exponenten und erhalten das gleiche Ergebnis.
Was nun noch zu zeigen bleibt ist, dass der Ausdruck [mm] $\sqrt[2^n]{a^{2 e_b(n)\pm 1}\cdot b^{e_b(n)}}-\sqrt[2^n\mp 1]{a^{2 e_b(n)}\cdot b^{e_b(n)}}$ [/mm] für große $n$ gegen Null konvergiert. Den kriege ich jetzt leider nicht mehr hin - vielleicht kann ihn ja noch jemand nachliefern :-/ Vielleicht kommt mir nachher noch die richtige Idee. Vereinfacht heißt das ja: [mm] $lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^x}-\sqrt[n+1]{a^{x+1}}=0$.
[/mm]
Damit jedenfalls wäre mein Beweis abgeschlossen.
Mmmhhh, was meint ihr dazu?
Liebe Grüße,
Hanno
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HI Hanno
Also erstmal RESPEKT!!!
Deine Lösung ist auf jedenfall richtig, auch wenn mir dein Beweis etwas zu kompliziert ist. Hättest du nicht zu Beginn vielleicht kurz deine Beweisidee hinschreiben können? Gefällt mir aber trotzdem sehr gut:
Es geht aber auch viel einfacher:
i)
da [mm] $y_{n+1}$ [/mm] weiter links liegt als [mm] $\bruch{x_n+y_n}{2}$ [/mm] und [mm]x_{n+1}[/mm] weiter links liegt als [mm] $\bruch{x_{n}+y_{n+1}}{2}$ [/mm] liegt haben wir [mm]x_n
Alternativ könnte man dies auch beweisen, indem man den invarianten Zusammenhang [mm]\bruch{x_n}{y_n}=\wurzel[4n]{\bruch{x_0}{y_0}}[/mm]herstellt, der offensichtlich gegen 1 konvergiert. Hieraus würde wiederum folgen lim x = lim y
ii)
Wir Betrachten [mm] $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ [/mm] und [mm] $\frac{y_n+1}{y_n}$
[/mm]
[mm] $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\wurzel{\wurzel{\frac{x_n}{y_n}}}$
[/mm]
[mm] $\frac{y_{n+1}}{y_n}=\wurzel{\frac{x_n}{y_n}}$
[/mm]
Setzt man die 2. Gleichung nun in die 1. ein:
[mm]\frac{x_{n+1}}{x_n}=\wurzel{\frac{y_n}{y_{n+1}}} \gdw x_{n+1}^2y_{n+1}=x_n^2y_n \gdw x_n^2y_n=a^2b[/mm]
Und somit haben wir lim x = lim y = [mm] \wurzel[3]{a^2b}
[/mm]
So viel zu meiner Lösung.
Trotzdem noch mal ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") , was für eine Lösung du da hingekriegt hast![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") !!!!
Gruß Samuel
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