Punkte mit maximalen Abstand < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Mitglieder des Forums,
Da wiedereinmal vorlesungsfreie Zeit ist, habe ich nun endlich wieder Zeit mich mit Dingen zu beschäftigen, die ich im Studium nicht (oder auch noch nicht) gelernt habe, aber mich dennoch interessieren.
Zu meiner Frage gibt es keine konkrete Aufgabenstellung, aber meine Überlegung ist folgende:
Angenommen ich habe eine Kugel (mit endlichem Radius) auf der ich 2 Punkte mit maximalen Abstand voneinander einzeichnen will (Stichwort: diametral), so gibt es ja mehr als eine Möglichkeit, diese Punkte anzuordnen.
Nun will ich aber eine Anzahl [mm]n\ge2[/mm] von Punkten , die ich allesamt mit maximalen Abstand voneinander (der immer gleich groß sein soll) auf einer Kugel angeordnet werden sollen, auf meiner Kugel einzeichnen.
Gibt es dafür eine konkrete Formel/Ansatz/Beispiel (vielleicht habe ich sie ja schon längst gelernt, die Anwendung jedoch noch nicht begriffen) um die Koordinaten einer beliebigen Anzahl von Punkten zu ermitteln?
Beziehungsweise, gibt es eine Möglichkeit, ein solchen Verfahren auf verschiedenste Körper (zB: Würfel, Quader, Wasserglas, Kaffeetasse, etc...) anzuwenden?
Bei anderen Körpern als der Kugel ist es mit grundsätzlich egal, ob der Maximale Abstand immer gleich ist, sofern er maximal ist.
Ist vielleicht ein bisschen viel verlangt, aber es würde mir auch reichen, wenn jemand von euch ein Buch, einen Link, Grafik, oder sonstiges geben kann.
Ich glaube dass es vielleicht ein bisschen viel verlangt ist wenn ich jemanden bitte, mir explizit vorzurechnen wie soetwas getan werden kann (freuen würde ich mich auf jedenfall haha) :) Immerhin ist diese Überlegung weder Prüfungsrelevant, noch sonstiges.
Habe einfach Spaß an mathematischen Spielereien und Rätseln :)
Liebe Grüße, und jetzt schon vielen Dank.
Euer Scherzkrapferl
PS: war mir nicht ganz sicher in Kategorie ich diese Frage stellen sollte, könnte wahrscheinlich ebensogut in Chemie, Physik, Informatik,... gestellt werden (also falls nötig bitte verschieben und nicht böse sein :) ).
PPS: Ist es Möglich diese Frage als Umfrage einzustellen mit möglichst langer Dauer ? Merci
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Moin!
ich würde das Problem der Differentialgeomtrie zuordnen. Ob es dazu eine Lösung gibt, weiß ich nicht. Aber ich denke, die Kurven- und Flächentheorie ist etwas, in das du dich einlesen kannst.
Ist auch ein ausgesprochen schönes Gebiet.
Vielleicht hilft dir das ja.
Viele Grüße
ChopSuey
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Hey, danke für die Antwort
> Moin!
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> ich würde das Problem der Differentialgeomtrie zuordnen.
> Ob es dazu eine Lösung gibt, weiß ich nicht. Aber ich
> denke, die Kurven- und Flächentheorie ist etwas, in das du
> dich einlesen kannst.
> Ist auch ein ausgesprochen schönes Gebiet.
Vielen Dank für den Hinweis, klingt auf jedenfall schon mal sehr gut und werde versuchen mich da mal ein bisschen weiter ein zu lesen :)
>
> Vielleicht hilft dir das ja.
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Mo 09.07.2012 | | Autor: | hippias |
Vielleicht hilft Dir das weiter:
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem
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Hey, danke auch für deine Antwort
> Vielleicht hilft Dir das weiter:
> https://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem
Oh sehr schön, genau davon habe ich in meiner Chemie-Vorlesung schon gehört, wusste allerdings nicht mehr wie dieses Problem genannte wurde. Könnte mir sicher helfen :)
Liebe Grüße
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Hallo scherzkrapferl,
es ist offensichtlich, dass es nur folgende Lösungen gibt, so dass die Abstände zwischen zwei auf der Kugeloberfläche "benachbarten" Punkten jeweils gleich sind:
1) zwei Punkte: Endpunkte eines Kugeldurchmessers
2) drei Punkte: Ecken eines gleichseitigen Dreiecks in einer Ebene, die den Kugelmittelpunkt enthält. (Die Ecken liegen also auf einem Großkreis)
3) vier Punkte: Ecken eines Tetraeders
4) sechs Punkte: Ecken eines Oktaeders
5) acht Punkte: Ecken eines Würfels
6) zwölf Punkte: Ecken eines Ikosaeders
7) zwanzig Punkte: Ecken eines Dodekaeders
In dem verlinkten Artikel zum Thomsonproblem fehlt die (bekannte) Lösung 5, Lösung 7 ist nicht richtig angegeben: Ikosaeder und Dodekaeder sind zueinander dual, das Ikosaeder hat zwanzig (namensgebende) Flächen und zwölf Ecken, beim Dodekaeder ist es umgekehrt.
Die Lösungen 3-7 sind natürlich die fünf ![[]](/images/popup.gif) platonischen Körper, die Lösungen 1-2 ziemlich trivial.
Ich nehme an, dass Du auch unter den archimedischen Körpern weitere Lösung findest, sowie unter den fast kugelförmigen Fullerenen. Hier gefällt mir der englische Wikipedia-Artikel besser, ist aber auch noch nicht das Gelbe vom Ei. Immerhin gibt es ein Bild des [mm] C_{540}-\text{"Buckyballs}\text{".}
[/mm]
Vielleicht bringt es Dich auf weitere Ideen. In jedem Fall werden Lösungen auch über Symmetriegruppen zu finden und nachzuweisen sein.
Herzliche Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> Hallo scherzkrapferl,
>
> es ist offensichtlich, dass es nur folgende Lösungen gibt,
> so dass die Abstände zwischen zwei auf der
> Kugeloberfläche "benachbarten" Punkten jeweils gleich
> sind:
>
> 1) zwei Punkte: Endpunkte eines Kugeldurchmessers
> 2) drei Punkte: Ecken eines gleichseitigen Dreiecks in
> einer Ebene, die den Kugelmittelpunkt enthält. (Die Ecken
> liegen also auf einem Großkreis)
> 3) vier Punkte: Ecken eines Tetraeders
> 4) sechs Punkte: Ecken eines Oktaeders
> 5) acht Punkte: Ecken eines Würfels
> 6) zwölf Punkte: Ecken eines Ikosaeders
> 7) zwanzig Punkte: Ecken eines Dodekaeders
Diese Lösungen waren mir schon bekannt, trotzdem eine sehr gute Erinnerung :)
Glaubst du gibt es überhaupt eine Möglichkeit, ein Solches "Verfahren" auf beliebig geformte körper anzuwenden (ein rechnerisches Verfahren ist gemeint)? Geometrisch kann ich mir das schon sehr gut vorstellen wie ich vorgehen könnte. Da war deine Erinnerung an die Platonischen Körper schon sehr hilfreich :)
Habe mir für eine Kaffetasse zum Beispiel überlegt sie erstmal in ein CAD Programm zu zeichnen. Natürlich würde ich das "vereinfacht" mit Kreisen als (nennen wir's mal) "Höhenschichtlinien" machen, anschließend die einzelnen Kreise betrachten und danach die Ergebnisse versuchen zu kombinieren, bzw Zusammenhänge versuchen zu finden.
Die Idee ist vielleicht sehr vage, aber vielleicht lässt sich ja wirklich damit Arbeiten.
>
> In dem verlinkten Artikel zum Thomsonproblem fehlt die
> (bekannte) Lösung 5, Lösung 7 ist nicht richtig
> angegeben: Ikosaeder und Dodekaeder sind zueinander dual,
> das Ikosaeder hat zwanzig (namensgebende) Flächen und
> zwölf Ecken, beim Dodekaeder ist es umgekehrt.
Oh das ist mir gar nicht aufgefallen. Sollte eigentlich auf Wikipedia verbessert werden.
>
> Die Lösungen 3-7 sind natürlich die fünf
> platonischen Körper,
> die Lösungen 1-2 ziemlich trivial.
>
> Ich nehme an, dass Du auch unter den
> archimedischen Körpern
> weitere Lösung findest, sowie unter den fast
> kugelförmigen Fullerenen.
> Hier gefällt mir der
> englische Wikipedia-Artikel
> besser, ist aber auch noch nicht das Gelbe vom Ei. Immerhin
> gibt es ein Bild des [mm]C_{540}-\text{" buckyballs}\text{".}$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$C_%7B540%7D-%5Ctext%7B$" buckyballs}\text{".}"="">"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%3Cspan%20class%3D$"math">![$C_%7B540%7D-%5Ctext%7B[/mm]<font color=]() Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
" buckyballs}\text{".}"="">
Da kommen wir, der mir gedachten Sache, schon sehr nahe :D
>
> Vielleicht bringt es Dich auf weitere Ideen. In jedem Fall
> werden Lösungen auch über
> Symmetriegruppen
> zu finden und nachzuweisen sein.
Hat mich auf weitere Ideen gebracht :D Vielen lieben Dank dass du dir Zeit genommen hast ;) Weiß ich zu schätzen.
>
> Herzliche Grüße
> reverend
>
Liebe Grüße aus Wien,
Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Di 10.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bist auf ein ungelöstes Problem gestoßen, mehr darüber findest du unter "spherical code" in google oder erstmal ich denke ziemlich erschöpfend bei mathworld wolfram hier
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Di 10.07.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
ich war fest davon überzeugt, dass für 8 Punkte der Würfel die beste Lösung sei, finde aber nicht die Quelle dieser Information (auch wenn ichs definitiv schon gelesen habe). Wolfram (hier übrigens ein guter Fund!) behauptet ja, dass das quadratische Antiprisma die Lösung des Problems darstelle, was in der Tat vorstellbar ist; nachgerechnet habe ichs aber nicht.
Spannendes Problem jedenfalls, wie so viele der noch ungelösten.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Di 10.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
auch wenn du das mit dem Würfel gelesen hast ist es falsch, und Wolfram hat recht.
stell dir den Würfel in der Kugel vor, aber erstmal nur 2 gegenüberliegende Quadrate. jetzt dreh das untere Quadrat=>
die Abstände der 4 Ecken nimmt zu! jetzt kannst du die 2 Quadrate etwas näher zur Mitte schieben, damit die Seiten auch länger werden. Das Optimum, eben das Antiprisma erreicht man, indem man das eine Quadrat um 45° gegen das andere verdreht.
Gruss leduart
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