Punktbestimmung einer Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(3/-2/1), B(3/3/1), C(6/3/5)
a) Zeigen Sie, dass sich die drei Punkte A, B und C zu einem Quadrat ABCD ergänzen lassen und geben Sie den vierten Punkt D dieses Quadrats an.
(hab die Aufgabe gelöst und hab D(6/-2/5) rausbekommen, sollte richtig sein)
b)Das Quadrat ABCD sei die Grundfläche einer senkrechten quadratischen Pyramide ABCDS mit Spitze S. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes S so, dass die Pyramide ABCDS ein Volumen von 125VE besitzt. |
In Teilaufgabe b) ist mein eigentliches Problem. Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
1) alle werte die vorhanden sind für die formel für volumenberechnung einer pyramide eingesetzt und 0,6 für die höhe rausbekommen
2) den vektor AC gebildet und einen vektor gebildet der orthogonal zu AC ist
3) (10/6/-15) hab ich rausbekommen. nun hab ich versucht eine vielfache vom ausgerechneten vektor zu finden die die länge 0,6 hat...
so und genau da weiß ich nicht weiter.
kann mir einer helfen?
danke im voraus ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 10.01.2008 | | Autor: | weduwe |
ich würde so vorgehen:
die seite a des quadrates hat die länge a= 5,
[mm] V=\frac{Gh}{3}\to h=\frac{3G}{a²}=15
[/mm]
nun bestimmst du den mittelpunkt des quadrates
[mm] \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} [/mm]
und nun geht es senkrecht - also mit dem normalenvektor
der ebene E(ABC) - nach oben und unten
[mm] \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 15\cdot\frac{1}{5}\vektor{4\\0\\3}
[/mm]
und schon bist du bei [mm] S_{1,2} [/mm] angelangt.
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Ich hab den fehler bei mir gefunden und weiß warum es nicht hinkommen konnte :P
aber eine frage zu deinem normalvektor müsste er nicht
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ -3} [/mm] sein anstatt [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ -3}?
[/mm]
also ich habe für den vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] ,
[mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 4} [/mm] rausbekommen und wenn man dann die formel anwendet
steht doch 3 [mm] n_{1} [/mm] + 5 [mm] n_{2} [/mm] + 4 [mm] n_{3} [/mm] = 0
wenn da null rauskommen soll müsste doch entweder die 4 oder die 3 negativ sein oder?
danke für die mühe. hab dadurch meinen fehler erkannt;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Do 10.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Ich hab den fehler bei mir gefunden und weiß warum es nicht
> hinkommen konnte :P
> aber eine frage zu deinem normalvektor müsste er nicht
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ -3}[/mm] sein anstatt [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ -3}?[/mm]
>
> also ich habe für den vektor [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] ,
> [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 4}[/mm] rausbekommen und wenn man dann die
> formel anwendet
> steht doch 3 [mm]n_{1}[/mm] + 5 [mm]n_{2}[/mm] + 4 [mm]n_{3}[/mm] = 0
> wenn da null rauskommen soll müsste doch entweder die 4
> oder die 3 negativ sein oder?
> danke für die mühe. hab dadurch meinen fehler erkannt;)
ich denke, dass der von mir berechnete normalvektor korrekt ist
[mm] \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\sim\vektor{0\\1\\0}\times\vektor{3\\5\\4}=\vektor{4\\0\\-3}
[/mm]
der rest wie oben
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