Punkt in Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | In einem Koordinatensystem sind die Punkte A(0/0/0), B(6/0/0), C(0/6/0) und S(4/6/10) gegeben,die eine dreiseitige Pyramide bilden.
Liegt der Punkt P(2/3/1) im Inneren der Pyramide oder außerhalb?
Begründen Sie ihre Antwort.
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Hallo zusammen^^
Bei dieser Aufgabe habe ich ein paar Probleme mit der Begründung.Also ich habs mir mal aufgezeichnet und anahnd der Zeichnung würde ich sagen,dass der Punkt im Inneren der Pyramide liegt.
Aber ich weiß nicht,wie ich das rechnerisch nachweisen kann.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> In einem Koordinatensystem sind die Punkte A(0/0/0),
> B(6/0/0), C(0/6/0) und S(4/6/10) gegeben,die eine
> dreiseitige Pyramide bilden.
> Liegt der Punkt P(2/3/1) im Inneren der Pyramide oder
> außerhalb?
> Begründen Sie ihre Antwort.
>
> Hallo zusammen^^
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich ein paar Probleme mit der
> Begründung.Also ich habs mir mal aufgezeichnet und anahnd
> der Zeichnung würde ich sagen,dass der Punkt im Inneren der
> Pyramide liegt.
> Aber ich weiß nicht,wie ich das rechnerisch nachweisen
> kann.
> Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Nun, die dreiseitige Pyramide besteht aus aufeinandergestapelten Ebenen,
deren Eckpunkte durch
[mm]A_{\lambda}=A+\lambda*\left(S-A)[/mm]
[mm]B_{\lambda}=B+\lambda*\left(S-B)[/mm]
[mm]C_{\lambda}=C+\lambda*\left(S-C)[/mm]
Dann lautet die Ebenengleichung
[mm]E_{\lambda}:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{A_ {\lambda}}\right)\*\overrightarrow{n}=0, \ \lambda \in \left[0,1\right[[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{n}=\overrightarrow{A_{\lambda}B_{\lambda}}\times \overrightarrow{A_{\lambda}C_{\lambda}}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}[/mm]
Setze hier nun den Punkt P ein, und Du erhältst einen Wert für [mm]\lambda[/mm].
>
> Vielen Dank
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:32 So 17.05.2009 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Der Rechenweg ist so nicht geschickt.
Wenn P$(1000 [mm] \mid [/mm] 1000 [mm] \mid [/mm] 1)$, dann ergibt sich [mm] $\lambda [/mm] = 0{,}1$.
Und? P liegt außerhalb der Pyramide.
Gruß
mathemak
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 So 17.05.2009 | | Autor: | weduwe |
in analogie (!?) zum 2D-fall hätte ich folgende variante zu bieten:
[mm] \vektor{2\\3\\1}=a\vektor{6\\0\\0}+b\vektor{0\\6\\0}+c\vektor{4\\6\\10}
[/mm]
P liegt innerhalb bzw. "an der oberfläche" der pyramide wenn gilt:
[mm]0\leq a,b,c\leq 1 \wedge 0\leq a+b+c\leq 1[/mm]
damit läge P innerhalb und Q(1000/1000/1) außerhalb der pyramide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 So 17.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> in analogie (!?) zum 2D-fall hätte ich folgende variante zu
> bieten:
>
> [mm]\vektor{2\\3\\1}=a\vektor{6\\0\\0}+b\vektor{0\\6\\0}+c\vektor{4\\6\\10}[/mm]
>
> P liegt innerhalb bzw. "an der oberfläche" der pyramide
> wenn gilt:
>
> [mm]0\leq a,b,c\leq 1 \wedge 0\leq a+b+c\leq 1[/mm]
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> damit läge P innerhalb und Q(1000/1000/1) außerhalb der
> pyramide
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>
Ok,das ist auch logisch.Vielen Dank
lg
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