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| Aufgabe | Mithilfe von drei Messstationen mit den Koordinaten [mm] M_1=(12;0); M_2=(-50; [/mm] 0); [mm] M_3=(0;0) [/mm] soll die Position [mm]Q=(x;y)[/mm] eines Senders geortet werden. Ein von [mm]Q[/mm] aus gesendetes Signal hat die Geschwindigkeit [mm] c=300000kms^{-1} [/mm] und legt den Weg zu den Messstationen in den Zeiten [mm] t_1, t_2 [/mm] bzw. [mm] t_3 [/mm] zurück, wobei man jedoch nur die Laufzeitunterschiede [mm] \Delta_1 [/mm] = [mm] t_3-t_1=10^{-5}s [/mm] und [mm] \Delta_2 [/mm] = [mm] t_2-t_3=10^{-4}s [/mm] messen kann. Entfernungen sind hier in km, Zeiten in Sekunden angegeben.
Wo liegt der Sender? |
Mein Ansatz ist:
Es gilt:
[mm] t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}
[/mm]
[mm] t_2=\bruch{\overrightarrow{QM_2}}{c}
[/mm]
[mm] t_3=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}
[/mm]
Aus [mm] \Delta_1 [/mm] folgt:
[mm] \Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}-\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}=10^{-5}s
[/mm]
[mm] \overrightarrow{QM_3}-\overrightarrow{QM_1}=10^{-5}s*c
[/mm]
[mm] M_3-Q-M_1+Q=10^{-5}s*c
[/mm]
hier kürzt sich die gesuchte Koordinate Q weg. Deshalb weis ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Kann mir jemand helfen?
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> Mithilfe von drei Messstationen mit den Koordinaten
> [mm]M_1=(12;0); M_2=(-50;[/mm] 0); [mm]M_3=(0;0)[/mm] soll die Position
> [mm]Q=(x;y)[/mm] eines Senders geortet werden. Ein von [mm]Q[/mm] aus
> gesendetes Signal hat die Geschwindigkeit [mm]c=300000kms^{-1}[/mm]
> und legt den Weg zu den Messstationen in den Zeiten [mm]t_1, t_2[/mm]
> bzw. [mm]t_3[/mm] zurück, wobei man jedoch nur die
> Laufzeitunterschiede [mm]\Delta_1[/mm] = [mm]t_3-t_1=10^{-5}s[/mm] und
> [mm]\Delta_2[/mm] = [mm]t_2-t_3=10^{-4}s[/mm] messen kann. Entfernungen sind
> hier in km, Zeiten in Sekunden angegeben.
>
> Wo liegt der Sender?
> Mein Ansatz ist:
>
> Es gilt:
>
> [mm]t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}[/mm]
>
> [mm]t_2=\bruch{\overrightarrow{QM_2}}{c}[/mm]
>
> [mm]t_3=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}[/mm]
>
> Aus [mm]\Delta_1[/mm] folgt:
>
> [mm]\Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}-\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}=10^{-5}s[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{QM_3}-\overrightarrow{QM_1}=10^{-5}s*c[/mm]
>
> [mm]M_3-Q-M_1+Q=10^{-5}s*c[/mm]
>
> hier kürzt sich die gesuchte Koordinate Q weg. Deshalb
> weis ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Kann mir
> jemand helfen?
Hallo R.
ich würde dir vorschlagen, die Distanzen von Q zu [mm] M_i [/mm] z.B. mit [mm] d_i
[/mm]
zu bezeichnen. Wegen [mm] d_i [/mm] = c * [mm] t_i [/mm] ergeben sich dann zwei
Differenzgleichungen für diese Abstände:
$\ [mm] d_3-d_1\ [/mm] =\ [mm] c*10^{-5}\ [/mm] s$
$\ [mm] d_2-d_3\ [/mm] =\ [mm] c*10^{-4}\ [/mm] s$
(man kann die Abstände auch in km umrechnen und den km
als Längeneinheit benützen)
Geometrisch beschreibt jede dieser beiden Differenzgleichungen
einen Hyperbelast. Q ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser
beiden Kurven. Dabei gibt es dann offensichtlich (falls es
überhaupt Lösungen gibt) zwei in Bezug auf die erste
Koordinatenachse symmetrisch gelegene Lösungspunkte.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo,
ich habe das noch nicht ganz verstanden.
> [mm]\ d_3-d_1\ =\ c*10^{-5}\ s[/mm]
>
> [mm]\ d_2-d_3\ =\ c*10^{-4}\ s[/mm]
Die beiden Gleichungen kann ich nachvollziehen
>
> Geometrisch beschreibt jede dieser beiden Differenzgleichungen einen Hyperbelast.
wie kommst du darauf? eine Hyperbel hat ja die Form [mm] y=\bruch{1}{x}
[/mm]
und das sehe ich hier nicht
> Q ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser beiden Kurven.
Woher weiß man das Q der Schnittpunkt dieser Kurven ist?
> Dabei gibt es dann offensichtlich (falls es überhaupt Lösungen gibt) zwei in Bezug auf die erste Koordinatenachse symmetrisch gelegene Lösungspunkte.
Diesen Satz habe ich überhaupt nicht verstanden. Gibt es mehrere Punkte für Q?
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> Hallo,
>
> ich habe das noch nicht ganz verstanden.
>
>
> > [mm]\ d_3-d_1\ =\ c*10^{-5}\ s[/mm]
> >
> > [mm]\ d_2-d_3\ =\ c*10^{-4}\ s[/mm]
>
> Die beiden Gleichungen kann ich nachvollziehen
>
> >
> > Geometrisch beschreibt jede dieser beiden
> Differenzgleichungen einen Hyperbelast.
>
> wie kommst du darauf? eine Hyperbel hat ja die Form
> [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm]
> und das sehe ich hier nicht
Ich weiß nicht, welche geometrischen Grundkenntnisse dir
zur Verfügung stehen. Eine Hyperbel kann man definieren
als die Menge aller Punkte P in der Ebene, für welche
gilt:
$\ [mm] ||\overline{PF_1}|\ [/mm] -\ [mm] |\overline{PF_2}||=\ 2\,a$
[/mm]
siehe: ![[]](/images/popup.gif) Hyperbel
> > Q ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser beiden Kurven.
>
> Woher weiß man das Q der Schnittpunkt dieser Kurven ist?
Die Lösungsmenge jeder der Differenzengleichungen ist jeweils
ein gewisser Hyberbelast. Da die Koordinaten von Q beide
Differenzgleichungen erfüllen soll, muss Q in der Schnittmenge
der beiden Kurven (als Punktmengen betrachtet) liegen.
Falls dir diese geometrischen Zusammenhänge nicht geläufig
sind, kannst du aber trotzdem einfach mit den Gleichungen
arbeiten und dich so zur Lösung "durchkämpfen" ...
> > Dabei gibt es dann offensichtlich (falls es überhaupt
> Lösungen gibt) zwei in Bezug auf die erste
> Koordinatenachse symmetrisch gelegene Lösungspunkte.
>
> Diesen Satz habe ich überhaupt nicht verstanden. Gibt es
> mehrere Punkte für Q?
Nicht mehrere, aber zwei. Eventuell aber auch gar keinen oder
einen einzigen (der dann auf der x-Achse liegen müsste).
Und das ist auch recht leicht zu verstehen. Die Punkte [mm] M_i
[/mm]
liegen ja alle drei auf der x-Achse. Wenn ein Punkt Q(x,y) von
den Punkten [mm] M_i [/mm] die Distanzen [mm] d_i [/mm] hat, so hat offensichtlich
der gespiegelte Punkt [mm] $\overline{Q} [/mm] (x,-y)$ von diesen drei Punkten
exakt dieselben Abstände (also auch dieselben Lichtlaufzeiten).
LG , Al-Chwarizmi
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Müsste das nicht irgendwie mit dem Strahlensatz gehen?
Die Messstationen liegen doch auf einer Geraden.
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> Müsste das nicht irgendwie mit dem Strahlensatz gehen?
> Die Messstationen liegen doch auf einer Geraden.
Strahlensatz (oder -sätze): das würde bedeuten, dass man
nur mit linearen Gleichungen (Proportionalitäten) auskommen
würde.
Dies ist hier definitiv nicht der Fall !
LG , Al-Chw.
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Ah, ok, habe mal nachgelesen.
Stichwort: Hyperbelnavigation!
Wieder was gelernt. Danke!
Nur: Wie bestimmt man denn die Hyperbelfunktionen?
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> Ah, ok, habe mal nachgelesen.
> Stichwort: Hyperbelnavigation!
> Wieder was gelernt. Danke!
>
> Nur: Wie bestimmt man denn die Hyperbelfunktionen?
Erste Möglichkeit: wenn man sich mit Hyperbelgleichungen
geometrisch nicht so auskennt: einfach mit den Differenzglei-
chungen der Distanzen arbeiten. So wird man auf ein System
von quadratischen Gleichungen geführt, das aufzulösen ist.
Mit Nutzung der geometrischen Eigenschaften der Hyperbeln:
Je zwei der Punkte [mm] M_i [/mm] sind jeweils die Brennpunkte einer
der beiden Hyperbeln. Mittels deren Koordinaten und der
vorgegebenen Distanz-Differenz 2a lässt sich dann die
Hyperbelgleichung relativ leicht aufstellen. Im vorliegenden
Beispiel liegen ja alle [mm] M_i [/mm] und damit auch alle Hauptachsen
der beteiligten Hyperbeln auf der x-Achse. Das erleichtert die
Rechnungen sehr im Vergleich zum allgemeinen Fall, wo die
Brennpunkte in beliebiger Lage wären.
Siehe dazu z.B. den schon erwähnten Wiki-Artikel zur Hyperbel.
Anschließend muss man zwei Hyperbeläste miteinander
schneiden.
LG , Al-Chw.
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> Aus [mm]\Delta_1[/mm] folgt:
>
> [mm]\Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}-\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}=10^{-5}s[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{QM_3}-\overrightarrow{QM_1}=10^{-5}s*c[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier müssten auf der linken Seite (schon in der vorherigen
Zeile) nicht die Vektoren, sondern deren Beträge stehen:
[mm]|\,\overrightarrow{QM_3}|\ -\ |\overrightarrow{QM_1}|\ =\ 10^{-5}s*c[/mm]
> [mm]M_3-Q-M_1+Q=10^{-5}s*c[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sowas geht dann halt überhaupt nicht !
LG , Al-Chw.
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Hallo,
ich verstehe die Definition der Hyperbel nicht. Kann man die Aufgabe auch anders lösen? mit üblichen Vektor kenntnissen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 08.05.2016 | | Autor: | chrisno |
> > $ \ [mm] d_3-d_1\ [/mm] =\ [mm] c\cdot{}10^{-5}\ [/mm] s $
> > $ \ [mm] d_2-d_3\ [/mm] =\ [mm] c\cdot{}10^{-4}\ [/mm] s $
> Die beiden Gleichungen kann ich nachvollziehen
Da ist der Startpunkt. Nun schreibst Du mit der Vektorrechnung hin:
- die Entfernung Q-M1 ( mit den noch zu bestimmenden Koordinaten x und y)
- die Entfernung Q-M2
- die Entfernung Q-M3
Damit kannst Du nun [mm] $d_1, d_2, d_3$ [/mm] berechnen.
Diese kannst Du in die Gleichungen oben einsetzen.
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Es gilt:
[mm] t_1=\bruch{\overrightarrow{|QM_1|}}{c} [/mm]
[mm] t_2=\bruch{\overrightarrow{|QM_2|}}{c} [/mm]
[mm] t_3=\bruch{\overrightarrow{|QM_3|}}{c} [/mm]
Aus [mm] \Delta_1 [/mm] folgt:
[mm] \Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{|QM_3|}}{c}-\bruch{\overrightarrow{|QM_1|}}{c}=10^{-5}s
[/mm]
[mm] \overrightarrow{|QM_3|}-\overrightarrow{|QM_1|}=10^{-5}s\cdot{}c
[/mm]
[mm] \wurzel{(0-x_1)^2+(0-x_2)^2}-\wurzel{(12-x_1)^2+(0-x_2)^2}=c*10^{-5}s
[/mm]
[mm] \left[\wurzel{x_1^2+x_2^2}-\wurzel{(12-x_1)^2+x_2^2}\right]^2=c^2*10^{-10}s
[/mm]
[mm] x_1^2+x_2^2-2\wurzel{x_1^2+x_2^2}*\wurzel{(12-x_1)^2+x_2^2}+(12-x_1)^2+x_2^2=c^2*10^{-10}s
[/mm]
[mm] x_1^2+x_2^2-2\wurzel{(x_1^2+x_2^2)*(12-x_1)^2+(x_1^2+x_2^2)*x_2^2}+144-24x_1+x_1^2+x_2^2=c^2*10^{-10}s
[/mm]
[mm] 2x_1^2+2x_2^2-24x_1+144-c^2*10^{-10}s=2\wurzel{(x_1^2+x_2^2)*(12-x_1)^2+(x_1^2+x_2^2)*x_2^2}
[/mm]
Bevor ich die Linke Seite quadiere, möchte ich gerne wissen ob die Gleichung bis hierhin richtig ist?
Und das gleiche nochmal für [mm] \Delta_2:
[/mm]
[mm] \Delta_2=t_2-t_3=\bruch{\overrightarrow{|QM_2|}}{c}-\bruch{\overrightarrow{|QM_3|}}{c}=10^{-4}s
[/mm]
[mm] \overrightarrow{|QM_2|}-\overrightarrow{|QM_3|}=c*10^{-4}s
[/mm]
[mm] \wurzel{(-50-x_1)^2+(0-x_2)^2}-\wurzel{(0-x_1)^2+(0-x_2)^2}=c*10^{-4}s
[/mm]
[mm] \left[\wurzel{(-50-x_1)^2+x_2^2}-\wurzel{x_1^2+x_2^2}\right]^2=c^2*10^{-8}s
[/mm]
[mm] (-50-x_1)^2+x_2^2-2\wurzel{(-50-x_1)^2+x_2^2}*\wurzel{x_1^2+x_2^2}+x_1^2+x_2^2=c^2*10^{-8}s
[/mm]
[mm] 2500+100x_1+x_1^2+x_2^2-2\wurzel{(-50-x_1)^2*(x_1^2+x_2^2)+x_2^2*(x_1^2+x_2^2)}+x_1^2+x_2^2=c^2*10^{-8}s
[/mm]
[mm] 2x_1^2+2x_2^2+100x_1+2500-c^2*10^{-8}s=2\wurzel{(-50-x_1)^2*(x_1^2+x_2^2)+x_2^2*(x_1^2+x_2^2)}
[/mm]
Auch hier würde ich gerne wissen ob die Gleichung stimmt, bevor ich die linke Seite quadiere?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 09.05.2016 | | Autor: | weduwe |
bevor du dir DAS antust.
durch ein bißerl geschicktes HIN und HER kommt man ohne Quadrierei auch ans Ziel:
[mm]x_Q=\frac{(m_1^2-\Delta_1^2)\cdot\Delta_2-(m_2^2-\Delta_2^2)\cdot\Delta_1}{2\cdot(m_1\Delta_2-m_2\Delta_1)}[/mm]
woraus man die Laufzeit t und die y-Koordinate bestimmen kann
auf 2 Stellen genau Q(21.07/58.08)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mo 09.05.2016 | | Autor: | weduwe |
mit [mm] \Delta_1 [/mm] ist natürlich [mm] \Delta t_1\cdot [/mm] c gemeint
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Hallo,
> mit [mm]\Delta_1[/mm] ist natürlich [mm]\Delta t_1\cdot[/mm] c gemeint
und was genau ist [mm] \Delta{t_1}? [/mm] ich kann die gleichung für [mm] x_Q [/mm] nicht nachvollziehen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 11.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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