Punkt auf einer Ebenen bestimm < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Olli2005 |
ich steh mal wieder auf dem Schlauch zu foldender Aufgabe:
Sei P= [mm] \vektor{60 \\ -15 \\5} [/mm] und
e= [mm] \{\vektor{x \\ y \\z} |17x-10y+4z=-25 }
[/mm]
Berechnen Sie den Fußpunkt L des Lotes von P auf e. Bestimmen Sie mit Hilfe von P und L den Abstand von P zu e.
Meine Idee war, den Richtungsvektor von [mm] \overline{LP} [/mm] mit Hilfe des Normalenvektors aus der Koordinatengleichung auszudrücken:
[mm] \overline{LP}= \overline{n}* \lambda
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht ob mein vorgehen so richtig ist. Vielleicht wäre jemand so nett und würde mir bei dieser Aufgabe ein wenig auf die Sprünge helfen. :)
Gruß Olli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Olli
> ich steh mal wieder auf dem Schlauch zu foldender
> Aufgabe:
>
> Sei P= [mm]\vektor{60 \\ -15 \\5}[/mm] und
> e= [mm]\{\vektor{x \\ y \\z} |17x-10y+4z=-25 }
[/mm]
> Berechnen
> Sie den Fußpunkt L des Lotes von P auf e. Bestimmen Sie mit
> Hilfe von P und L den Abstand von P zu e.
>
> Meine Idee war, den Richtungsvektor von [mm]\overline{LP}[/mm] mit
> Hilfe des Normalenvektors aus der Koordinatengleichung
> auszudrücken:
> [mm]\overline{LP}= \overline{n}* \lambda
[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nicht ob mein vorgehen so richtig ist.
> Vielleicht wäre jemand so nett und würde mir bei dieser
> Aufgabe ein wenig auf die Sprünge helfen. :)
Einfacher ist es, wenn du die Gleichung der Senkrechten s zur Ebene durch den Punkt P (der Normalenvektor von E ist ja Richtungsvektor von s) bestimmst und dann den Schnitt punkt L von s und E. Dann kannst du die Länge des Vektors [mm] \vec{PL} [/mm] berechnen.
Gruß Sigrid
>
> Gruß Olli
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Olli2005 |
> Einfacher ist es, wenn du die Gleichung der Senkrechten s
> zur Ebene durch den Punkt P (der Normalenvektor von E ist
> ja Richtungsvektor von s) bestimmst und dann den Schnitt
> punkt L von s und E. Dann kannst du die Länge des Vektors
> [mm]\vec{PL}[/mm] berechnen.
Ok klingt einleuchtend und einfach :)
meine Gleichung (Parameterform) der Gerade s würde dann wie folgt aussehen:
s= [mm] \{ \vektor{60 \\ -15 \\5}- \lambda* \vektor{17 \\ -10 \\4}\}
[/mm]
den Schnittpunkt S einer Geraden mit einer Ebene kann ich nun mit folgender Formel berechnen:
[mm] \overline{S}= \overline{r1}+ \bruch{ \overline{n}*( \overline{r0}- \overline{r1})}{ \overline{n}* \overline{a}}* \overline{a}
[/mm]
Allerdings fehlt mir hier mein [mm] \overline{r0} [/mm] als Aufpunkt von [mm] \overline{n} [/mm] aus der Ebene e!?! Seh ich das richtig so oder hab ich da was übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
> > Einfacher ist es, wenn du die Gleichung der Senkrechten s
>
> > zur Ebene durch den Punkt P (der Normalenvektor von E ist
>
> > ja Richtungsvektor von s) bestimmst und dann den Schnitt
>
>
> > punkt L von s und E. Dann kannst du die Länge des Vektors
>
> > [mm]\vec{PL}[/mm] berechnen.
>
> Ok klingt einleuchtend und einfach :)
> meine Gleichung (Parameterform) der Gerade s würde dann
> wie folgt aussehen:
>
> s= [mm]\{ \vektor{60 \\ -15 \\5}- \lambda* \vektor{17 \\ -10 \\4}\}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> den Schnittpunkt S einer Geraden mit einer Ebene kann ich
> nun mit folgender Formel berechnen:
>
> [mm]\overline{S}= \overline{r1}+ \bruch{ \overline{n}*( \overline{r0}- \overline{r1})}{ \overline{n}* \overline{a}}* \overline{a}
[/mm]
>
Die Formel ist mir nicht klar. Was bedeuten die einzelnen Variablen?
Ich würde es so machen: Du setzt für x,y und z die jeweiligen Komponenten des Geradenpunktes ein, also
[mm] 17(60-17 \lambda) - 10(-15 + 10 \lambda) +4(5-4 \lambda) = -25 [/mm]
Dann kannst du [mm] \lamda [/mm] berechnen und in die Geradengleichung einsetzen.
>
> Allerdings fehlt mir hier mein [mm]\overline{r0}[/mm] als Aufpunkt
> von [mm]\overline{n}[/mm] aus der Ebene e!?! Seh ich das richtig so
> oder hab ich da was übersehen?
>
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 So 06.03.2005 | | Autor: | Olli2005 |
> [mm]\overline{S}= \overline{r1}+ \bruch{ \overline{n}*( \overline{r0}- \overline{r1})}{ \overline{n}* \overline{a}}* \overline{a}
[/mm]
>
> >
> Die Formel ist mir nicht klar. Was bedeuten die einzelnen
> Variablen?
Dies ist eine allgemeine Formel aus der Formelsammlung Papula. Welche ich auch anwenden kann, aber nicht durfte wie sich jetzt herausgestellt hat.
> Ich würde es so machen: Du setzt für x,y und z die
> jeweiligen Komponenten des Geradenpunktes ein, also
> [mm]17(60-17 \lambda) - 10(-15 + 10 \lambda) +4(5-4 \lambda) = -25[/mm]
>
> Dann kannst du [mm]\lamda[/mm] berechnen und in die Geradengleichung
> einsetzen.
Hehe, du wirst lachen aber diese Gleichung hatte ich so schon aufgestellt. Hatte aber, wegen eines Vorzeichenfehlers, ein völlig falsches Ergebnis erhalten. Meine Ergebnisse lautet nun:
[mm] \lambda=3
[/mm]
Schnittpunkt S= [mm] \vektor{9 \\ 15\\-7}
[/mm]
[mm] \overline{SP}= \vektor{51 \\ -30\\12}
[/mm]
Die Länge des Lotes von P zu dem Schnittpunkt ist ja gerade der Betrag des Richtungsvektors:
[mm] |\overline{SP}| \approx [/mm] 60,3738
Ich denke dieses Ergebnis müsste nun stimmen. Vielen Dank für Deine Unterstützung. Manchmal sehe ich vor lauter Vektoren die Lösung nicht mehr :)
Gruß Olli
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