Punkt auf einem Kreis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Do 06.07.2006 | | Autor: | rainer9 |
| Aufgabe | Gegeben vier Punkte P1,...,P4 in der Ebene. Zeigen Sie, daß P1 auf dem Kreis durch P2, P3, P4 liegt genau dann wenn:
[mm] \vmat{ x0 & y0 & x_{0}^{2}+y_{0}^{2} & 1 \\ x1 & y1 & x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & 1 \\ x2 & y2 & x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & 1 \\ x3 & y3 & x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & 1 \\ } [/mm] = 0 |
Ich habe bis jetzt einfach versucht, die Determinante mit der Laplace-Entwicklung auszurechnen und zu vereinfachen, aber die erhaltene Gleichung wird sehr lang und eine wirkungsvolle Vereinfachung konnte ich nicht finden.
Vielleicht muß man auch mit der Kreisgleichung beginnen. Es muß wohl einen einfacheren Ansatz geben - wer kann weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich denke, du mußt von der Kreisgleichung ausgehen. Also
[mm] $(x_i-M_x)^2+(y_i-M_y)^2-R^2=0$
[/mm]
[mm] $x_i^2-2x_iM_x+M_x^2+y_i^2-2y_iM_y+M_y^2-R^2=0$
[/mm]
Beachte, daß M und R für alle Punkte gleich ist (sein sollte)!
[mm] $(x_i^2+y_i^2) -2x_iM_x [/mm] - [mm] 2y_iM_y [/mm] + C=0$
Diese Formel schreibst du jetzt 4x untereinander, das sieht deiner Matrix schon sehr ähnlich. Vielleicht direkt als Vektorgleichung:
[mm] $\vektor{x_1^2+y_1^2 \\ x_2^2+y_2^2 \\ x_3^2+y_3^2 \\ x_4^2+y_4^2}+ \vektor{-2x_1M_x \\ -2x_2M_x \\ -2x_3M_x \\ -2x_4M_x}+ \vektor{- 2y_1M_y \\- 2y_2M_y \\ - 2y_3M_y \\ - 2y_4M_y} [/mm] + [mm] \vektor{C \\ C \\ C \\ C} =\vec [/mm] 0$
Mit anderen Worten: Die 4 Vektoren sind auf jeden Fall linear abhängig, wenn das lösbar sein soll.
Und det(A)=0 bedeutet nunmal, daß die Spaltenvektoren linear abhängig sind!
Also, mach aus den Vektoren eine Matrix und verlange det=0. Die Konstanten fliegen raus, und dann steht da das geforderte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Fr 07.07.2006 | | Autor: | rainer9 |
ja, wegen der Linearität der Determinante in jeder Spalte fallen die Konstanten raus... - danke!
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