Punkt an Ebene spiegeln < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Fr 01.12.2006 | | Autor: | JR87 |
| Aufgabe | A(1;-10;3)
B(5;-8;4)
C(3;-9;1)
D(3;-14;3) |
Der Punkt D wird an der Ebene E (bestehend aus den Punkten A,B,C) gespiegelt.
Nun soll ich die Koordinaten des Bildpunktes D' angeben. Aber wie finde ich diese raus?
Also als erstes würde ich die Ebene in die Hesse'sche Normalform bringen und dann den Abstand berechnen. Aber bringt mir das was?
Wie bekomme ich dann den Punkt raus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Fr 01.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit der Hesseschen Normlenform
ax+by+cz=1 kannst du ja den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] bestimmen.
Dann kannst du die Gerade
g: [mm] \vec{x}=\vec{d}+\lambda\vec{n} [/mm] bestimmen.
Wenn du diese mit der Ebene gleichsetzt, also in die HNF einsetzt, erhältst du ein [mm] \lambda, [/mm] mit dem du den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene berechnest.
Dein Bildpunkt liegt ja nun genau auf der Anderen Seite der Ebene, und im selben Abstand davon.
Also gilt für deine Bildpunkt D'
[mm] \vec{d'}=\vec{d}+2\lambda*\vec{n}
[/mm]
Hilft das weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 01.12.2006 | | Autor: | JR87 |
Ja das hilft mir schon viel weiter aber noch ne kurze Frage.
Ich würde dann auf [mm] \vektor{3 \\ -14 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] als Geradengleichung erhalten. Stimmt das?
Am Ende hab ich ja , wenn ich das richtig sehe eine Gerade raus. Wie komm ich dann von da auf einen Punkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Deine Geradengleichung habe ich auch erhalten. Nun musst du den Durchstoßpunkt $S_$ dieser Geraden durch die Ebene ermitteln.
Aus diesem Durchstoßpunkt kannst Du die Entfernung (bzw. das [mm] $\lambda$) [/mm] zwischen $S_$ und $D_$ ermitteln.
Der Spiegelpunkt $D'$ liegt dann inderselbene Entfernung zum Durchstoßpunkt auf der anderen Seite der Geraden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 02.12.2006 | | Autor: | JR87 |
Also für [mm] \lambda [/mm] bekomme ich -2 heraus. Somit ist mein Durchstoßpunkt S(1/-10/3)
Der Abstand beträgt 4,47 LE
Ist das korrekt?
Wenn das richtig ist, wie gehe ich dann weiter??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Sa 02.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast ja gerade das [mm] \lambda [/mm] berechnet, mit dem du den Durchstosspunkt der Geraden erreichst.
Wenn du dein [mm] \lambda [/mm] für den Durchstosspunkt hast, musst du ja von D die doppelte Strecke zurücklegen, um den Bildpunkt D' zu berechnen.
Also
[mm] \vec{d'}=\underbrace{\vec{d}+\red{2}\lambda*\vec{n}}_{Durchstossgerade}
[/mm]
Die Werte für [mm] \lambda, \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{d} [/mm] müsstest du jetzt noch einsetzen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 02.12.2006 | | Autor: | JR87 |
Ahh ok, stimmt das wurde ja vorher schonmal gepostet. Aber ich habe in meinem letzten Posting meine errechneten Werte für [mm] \lambda [/mm] und den Durchstoßpunkt niedergeschrieben. Könnte mir jemand bestätigen ob da richtig ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich habe auch Deine Werte erhalten. Der Durchstoßpunkt $S_$ ist also mit dem bereits bekannten Punkt $A_$ identisch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 02.12.2006 | | Autor: | JR87 |
So wenn ich das jetzt einsetze erhalte ich ja
[mm] \vec{d'} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -14 \\ 3} [/mm] + [mm] (-4)\vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
Ausmultipliziert ist das dann D' (-1 / -6 / 3 )
Wenn ich das jetzt richtig sehe ist das mein Bildpunkt. Ist das richtig??
Kann ich das auch irgendwie überprüfen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Stimmt so!
Überprüfen kannst Du das z.B., indem du den abstand zwischen Bildpunkt $D'_$ und Durchstoßpunkt $S_$ berechnest. Dieser muss ja gleich sein wie Abstand zwischen $D_$ und $S_$ .
Gruß
Loddar
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:45 Sa 02.12.2006 | | Autor: | JR87 |
Ich danke euch allen. Wunderbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Fr 01.12.2006 | | Autor: | riwe |
nur der ordnung halber, soweit mir bekannt :
ax + by + cz = d ist die koordinatenform und nicht die HNF,
und der normalenvektor davon - und natürlich auch der der HNF - wäre
[mm] \vec{n}=\vektor{a\\b\\c}
[/mm]
oder?
werner
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