Punkt - Funktion Abstand < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 08.01.2005 | | Autor: | juriman |
Habe eine Funktion [mm] y^2=4x [/mm] und ein Punkt P(2/1).
Gesucht ist ein Punkt Q auf [mm] y^2=4x [/mm] mit dem kleinsten Abstand zu P.
Ist eine Extremwertaufgabe, bei der ich einfach nicht auf die Ziel- und Nebenfunktion komme.
Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:58 Sa 08.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo juriman,
Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so ganz. Der Punkt P(2/1) liegt doch schon auf [mm] y^2=4x
[/mm]
[mm] 2^2=4*1
[/mm]
Grüße,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 08.01.2005 | | Autor: | juriman |
gegeben ist die relation [mm] y^2=4x. [/mm] skizzieren sie den graphen und berechnen die die kooordinaten (x,y) des punktes auf dem graphen [mm] y^2=4x, [/mm] der zu dem punkt (2,1) den geringsten abstand hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 08.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Da hat sich Chris ein wenig vertan, er hat x- und y-Wert beim Einsetzen in die Gleichung vertauscht.
Der Punkt [mm]P(2/1)[/mm] liegt nicht auf [mm]y^2=4x[/mm], weil [mm]1^2 \not= 4 \cdot 2[/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 09.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Danke für die Richtigstellung, stimmt natürlich! Dann macht die Aufgabenstellung auch gleich viel mehr Sinn... 
Peinlich, peinlich
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Die Funktion [mm]y^2=4x[/mm] kannst du in ihre beiden Äste zerlegen:
[mm]y=\pm2\wurzel{x}[/mm].
Wenn du das dann mal zeichnest, dann sieht du, dass der Punkt [mm]P(2/1)[/mm] auf jeden Fall näher am oberen, als am unteren Ast liegt. Also betrachtest du die Funktion [mm]y=2\wurzel{x}[/mm].
Ein beliebiger Punkt dieser Kurve lautet nun [mm]A(u/2\wurzel{u})[/mm].
Jetzt kannst du eine Abstandsfunktion der Punkte A und P in Abhängigkeit von u aufstellen - die Abstandsformel kennst du?
Und von dieser ist nun das abs. Minimum gesucht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 08.01.2005 | | Autor: | juriman |
nein, die abstandsformel ist mir leider nicht bekannt. könntest du du bitte noch kurz notieren?
warum muss man sqrt(4x) aufteilen?
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Abstandsformel zweier Punkte: Hast du zwei Punkte [mm]A(x_A/y_A)[/mm] und [mm]B(x_B/y_B)[/mm], dann bekommst du den Abstand der beiden Punkte über die Formel: [mm]d=\wurzel{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}[/mm]
Das ist übrigens gerade der Satz des Pythagoras, wenn du's dir mal aufzeichnest. Das d ist die Hypotenuse.
Für die Berechnung des Extremwertes: du musst dann nicht diese Funktion mit der Wurzel auf Minimum untersuchen, es reicht, wenn du nur die Funktion unter der Wurzel untersuchst (also das Quadrat des Abstandes). Kann man leicht beweisen, dass sich dann dieselben Extremwerte ergeben, wie bei der "Original-Funktion".
Warum aufteilen? Du hast hier die Gleichung [mm]y^2=4x[/mm]. Wenn du sie nach y lösen willst, musst du die Wurzel ziehen. Und dann musst du Beträge setzen (ganz wichtig!!!).
Beispiel: [mm]x^2=25[/mm]. [mm]x=5[/mm] ist nicht die vollständige Lösung, weil nicht nur [mm]5^2=25[/mm] ist, sondern auch [mm](-5)^2=25[/mm]. Also wäre der nächste Schritt nach dem Wurzelziehen: [mm]x^2=25[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|x|=5[/mm], und daraus folgt [mm]x = \pm 5[/mm].
Genauso isses hier: es gibt zwei Funktionen y, die die Gleichung [mm]y^2=4x[/mm] erfüllen, und das sind [mm]y=\pm 2\wurzel{x}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 08.01.2005 | | Autor: | juriman |
ok, danke.
dann müsste es aber heißen [mm] d=\wurzel{(x_A-x_B)^2+(y_B-y_A)^2}
[/mm]
und wieso darf man die wurzel jetzt weglaßen?
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> dann müsste es aber heißen
> [mm]d=\wurzel{(x_A-x_B)^2+(y_B-y_A)^2}[/mm]
In diesem Fall ist die Reihenfolge egal, da ja jeweils quadriert wird (3-5 ist zwar nicht dasselbe wie 5-3, aber mit Quadrat wär's dasselbe: [mm](3-5)^2=4=(5-3)^2[/mm]).
Aber eigentlich sollte man sich's schon angewöhnen, immer dieselbe Reihenfolge anzuwenden. Hier ist es, wie gesagt, nicht so wichtig, dafür aber z.B. bei Steigungsbestimmung zwischen zwei Punkten: [mm]m=\bruch{\Delta y}{\Delta x}=\bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\bruch{y_1-y_2}{x_1-x_2}[/mm]. Hat man im Zähler 'mit dem zweiten Punkt angefangen', so muss man das auch im Nenner machen, da man sonst die falsche Steigung erhält.
> und wieso darf man die wurzel jetzt weglaßen?
Der Beweis würde mir persönlich jetzt zu lange dauern, um ihn mit allen Spezialfällen hier aufzuschreiben (falls es das schonmal gegeben hat, dann kann ja jemand noch einen Link auf diese Aufgabe posten).
Reicht dir die Kurzversion: besitzt die Funktion [mm]f(x)[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm] ein Maximum / Minimum, so besitzt auch die Funktion [mm]f^2(x)[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm] ein Maximum / Minimum.
Also für die Berechnung des x-Wertes (bzw. u-Wertes in deiner Aufgabe) macht es keinen Unterschied, ob ich die Funktion, oder ihr Quadrat untersuche. Wenn ich aber nachher den zugehörigen y-Wert haben will (in deiner Aufgabe: den minimalen Abstand), dann muss ich den u-Wert wieder in die ursprüngliche Abstandsfunktion (also die mit der Wurzel) einsetzen.
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