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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 17.11.2012 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe 1 | B sei die Pseudo-Inverse der Matrix A. A hat vollen Rang.
$ A [mm] \in \IR^{m \times n}, [/mm] m [mm] \ge [/mm] n;$
$ B = [mm] (A^TA)^{-1}A^T [/mm] $
Zeige, dass B tatsächlich die Bedingungen erfüllt, die die Pseudo-Inverse definieren:
$ ABA = [mm] A,\qquad [/mm] BAB = [mm] B,\qquad (AB)^T [/mm] = [mm] AB,\qquad (BA)^T [/mm] = BA $ |
| Aufgabe 2 | B sei wieder die Pseudo-Inverse von A.
Bestimme [mm] \parallel [/mm] B [mm] \parallel_2.
[/mm]
Hinweis: Die 2-Norm der Matrix A, d. h. $ [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] $, ist gegeben durch $ [mm] \max_{i \in [1,...,n]} \sigma_i(A)= \bar \sigma [/mm] (A) $ |
Aufgabe1
Auf die ersten beiden Nachweise bin ich von selbst gekommen.
$ ABA = A ? $
$ ABA = [mm] A(A^TA)^{-1}A^TA [/mm] $
substituieren $ C = A^TA $
$ [mm] AC^{-1}C [/mm] = A $
$BAB = B ? $
$ BAB = [mm] (A^TA)^{-1}A^TA(A^TA)^{-1}A^T [/mm] $
substituieren $ D = A^TA $
$ [mm] D^{-1}D(A^TA)^{-1}A^T [/mm] = IB = B $
Mein Ansatz für die dritte Bedingung
$ [mm] (AB)^T [/mm] = [mm] A^TB^T [/mm] = [mm] A^T( (A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm] $
oder $ [mm] (AB)^T= (A(A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm] $
führt mich nicht weiter. Bedingung Nummer vier ähnelt der dritten.
Aufgabe 2
Hier hab ich mich soweit eingelesen: Die 2-Norm nennt man auch Spektralnorm. Bei quadratischen Matrizen (m = n) entsprechen die [mm] \sigma's [/mm] den Eigenwerten [mm] \lambda [/mm] von A. Dann wäre zu zeigen, dass der größte Eigenwert der Pseudo-Inversen und A gleich sind. Im Falle von m > n entsprechen die [mm] \sigma's [/mm] den Singulärwerten. Diese sind die Einträge auf der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix [mm] \Sigma. [/mm] Diese erhält man indem man eine Matrix A in drei Matrizen zerlegt,
$ A = U [mm] \Sigma V^T [/mm] $
, wobei U und V orthogonale Matritzen sind.
Ansatz? Matrixzerlegung $ A = U [mm] \Sigma V^T [/mm] $ in die Bestimmungsgleichung von B ( $ B = [mm] (A^TA)^{-1}A^T [/mm] $ ) einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Im allgemeinen ist [mm] (AB)^T=A^TB^T [/mm] falsch !
Die richtige Regel lautet: [mm] (AB)^T=B^TA^T [/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:21 So 18.11.2012 | | Autor: | bigalow |
Ok, danke. Da hab ich die Rechenregel für $ [mm] (A+B)^T [/mm] $ im Kopf gehabt. Die dritte Bedingung konnte ich damit zeigen (Berechnung unten, falls das später jemand liest).
Bei der vierten komm ich nicht weiter
$ [mm] (BA)^T \stackrel{!}{=} [/mm] BA: [mm] (BA)^T [/mm] = [mm] A^TB^T [/mm] = [mm] A^T((A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm] $
substituieren $ C = [mm] (A^TA)^{-1} [/mm] $
$ [mm] A^T((A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm] = [mm] A^T(CA^T)^T [/mm] = [mm] A^TAC^T [/mm] = A^TAC = [mm] A^TA(A^TA)^{-1} \stackrel{!}{=} [/mm] BA = [mm] (A^TA)^{-1}A^TA [/mm] $
Wie gehts weiter? Was ist falsch?
Nachweis dritte Bedingung
$ [mm] (AB)^T [/mm] = [mm] B^TA^T [/mm] = [mm] ((A^TA)^{-1}A^T)^TA^T [/mm] $
substituieren $ C= [mm] (A^TA)^{-1} [/mm] $
$ [mm] ((A^TA)^{-1}A^T)^TA^T [/mm] = [mm] (CA^T)^TA^T [/mm] = [mm] AC^TA^T \stackrel{!}{=} [/mm] A [mm] (A^TA)^{-1}A^T =ACA^T [/mm] $
Erfüllt wenn $ [mm] C^T=C [/mm] : [mm] C^T [/mm] = [mm] ((A^TA)^{-1})^T [/mm] = [mm] ((A^TA)^T)^{-1} [/mm] = [mm] (A^TA)^{-1} [/mm] = C $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 20.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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