Prüfung ob Unterraum von \IR^n < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Fr 20.02.2009 | | Autor: | trouff |
| Aufgabe | Ist die Menge Unterraum von [mm] \IR^n
[/mm]
[mm] U_{1}:=\left\{\vektor{x_{1} \\ \vdots \\x_{n}}|\summe_{i=1}^{n - 1}x_{i}=x_{n}\right\}
[/mm]
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Nach meiner Meinung ist es ein Unterraum von [mm] \IR^n.
[/mm]
Aber wie kann ich das zeigen.
Wie zeige ich, dass die Summe von zwei Vektoren aus der Menge wieder in der Menge ist.
Wie zeige ich, dass die Multiplikation eines Vektors aus der Menge mit einem Skalar wieder in der Menge ist.
Ich glaube dass es ein inverses Element gibt ist irgendwie klar.
Das es einen Nullvektor gibt ist auch irgendwo klar.
Danke im voraus
Mfg trouff
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> Ist die Menge Unterraum von [mm]\iR^n[/mm]
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> [mm]U_{1}[/mm] := [mm]\{\vektor{x_{1} \\ .\\.\\x_{n}} | \summe_{i=1}^{n - 1} x_{i} = x_{n}\}[/mm]
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> Nach meiner Meinung ist es ein Unterraum von [mm]\iR^n.[/mm]
> Aber wie kann ich das zeigen.
Hallo,
falls Ihr schon hatte, daß die Lösungen von linearen homogenen Gleichungssystemen (Unter-)Vektorräume sind, bist Du fertig, denn [mm] x_1+...+x_{n-1}-x_n=0 [/mm] ist ja so eins.
Ansonsten überlege Dir, daß die Elemente Deines VRes die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_{n-1}\\x_1+...+x_{n-1}} [/mm] haben, und weise die Unterraumkriterien nach.
Gruß v. Angela
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> Wie zeige ich, dass die Summe von zwei Vektoren aus der
> Menge wieder in der Menge ist.
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> Wie zeige ich, dass die Multiplikation eines Vektors aus
> der Menge mit einem Skalar wieder in der Menge ist.
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> Ich glaube dass es ein inverses Element gibt ist irgendwie
> klar.
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> Das es einen Nullvektor gibt ist auch irgendwo klar.
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> Danke im voraus
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> Mfg trouff
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Sa 21.02.2009 | | Autor: | trouff |
So ich versuche das ganze Mal, wäre nett wenn ihr mich korrigieren würdet:
1. Abgeschlossenheit der Addition:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1}} [/mm] + [mm] \vektor{y_{1}\\y_{2}\\.\\.y_{1}+y_{2}\\.\\.\\y_{1}+y_{2}+.+.y_{n-1}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+ y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\.\\.\\x_{1}+y_{1}+x_{2} + y_{2} +.+. +x_{n-1}+y_{n-1}} \in U_{2}
[/mm]
2. Existenztenz des neutralen Elements der Addition
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1}}+\vektor{0\\0\\.\\.\\0} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1}}
[/mm]
[mm] \vektor{0\\0\\.\\.\\0} \in U_{2}
[/mm]
3. Existenz des inversen Elements bezüglich der Addition
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1}} [/mm] + [mm] \vektor{-x_{1} \\ -x_{2}\\.\\.\\-x_{1}-x_{2}-.-.-x_{n-1}} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\.\\.\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{-x_{1} \\ -x_{2}\\.\\.\\-x_{1}-x_{2}-.-.-x_{n-1}} [/mm] in [mm] U_{2}
[/mm]
4. Abgeschlossenheit bezüglch der skalaren Multiplikation
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1}} [/mm] =
[mm] \vektor{\lambda * x_{1} \\ \lambda * x_{2}\\.\\.\\ \lambda *(x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1})} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda * x_{1} \\ \lambda * x_{2}\\.\\.\\ \lambda * x_{1} + \lambda * x_{2}+.+.+ \lambda * x_{n-1})} \in U_{2}
[/mm]
So das wars
Hoffe mal das stimmt so
Vielen Dank im voraus
Mfg trouff
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> So ich versuche das ganze Mal, wäre nett wenn ihr mich
> korrigieren würdet:
Hallo,
für unterraum brauchst Du nur
nichtleer und die beiden Abgeschlossenheiten.
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> 1. Abgeschlossenheit der Addition:
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1}}[/mm] +
> [mm]\vektor{y_{1}\\y_{2}\\.\\.y_{1}+y_{2}\\.\\.\\y_{1}+y_{2}+.+.y_{n-1}}[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1}+ y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\.\\.\\x_{1}+y_{1}+x_{2} + y_{2} +.+. +x_{n-1}+y_{n-1}} \in U_{2}[/mm]
Richtig.
>
> 2. Existenztenz des neutralen Elements der Addition
Die Existenz in [mm] \IR^n [/mm] ist ja klar.
Zeige nun, daß [mm] \vektor{0\\\vdots\\0} [/mm] auch in [mm] U_2 [/mm] liegt. Die Rechnung ist ja sehr leicht.
> 3. Existenz des inversen Elements bezüglich der Addition
das brauchst Du an dieser Stelle nicht.
> 4. Abgeschlossenheit bezüglch der skalaren Multiplikation
>
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1}}[/mm]
> =
> [mm]\vektor{\lambda * x_{1} \\ \lambda * x_{2}\\.\\.\\ \lambda *(x_{1}+x_{2}+.+.+x_{n-1})}[/mm]
> = [mm]\vektor{\lambda * x_{1} \\ \lambda * x_{2}\\.\\.\\ \lambda * x_{1} + \lambda * x_{2}+.+.+ \lambda * x_{n-1})} \in U_{2}[/mm]
Richtig.
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> So das wars
Genau.
Gruß v. Angela
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> Hoffe mal das stimmt so
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> Vielen Dank im voraus
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> Mfg trouff
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 21.02.2009 | | Autor: | trouff |
Danke Frau H.B.
Sie sind ja richtig fix!
Einmal kurz noch zur Existenz des neutralen Element:
[mm] \vektor{0\\0\\.\\.\\0+0+.+.+0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\.\\.\\0} \in U_{2}
[/mm]
Scheint mir jetzt sehr trivial, aber wenn das so muss muss das wohl.
Danke im voraus.
Mfg trouff
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> Einmal kurz noch zur Existenz des neutralen Element:
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> [mm]\vektor{0\\0\\.\\.\\0+0+.+.+0}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\.\\.\\0} \in U_{2}[/mm]
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> Scheint mir jetzt sehr trivial, aber wenn das so muss muss
> das wohl.
Hallo,
ob trivial, weiß ich nicht, aber einfach ist's. das hab' ich Dir ja versprochen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 21.02.2009 | | Autor: | trouff |
Dann bedanke ich mich für die Mithilfe. Werde da wahrscheinlich in den nächsten Tagen nochmal gerne gebrauch von machen.
Mfg trouff
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