Prüfen der Linearität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 So 27.01.2013 | | Autor: | amarus |
| Aufgabe | Ich soll prüfen ob folgende Abbildungen linearität aufweisen:
f:R³ -> R³ mit f(x1,x2,x3) := [mm] (x1x2,0,x3)^{T} [/mm] |
Ich würde die beiden Kritieren zur Linearität prüfen:
1) [mm] f(\lambda x)=\lambda [/mm] f(x)
2) f(x+y)=f(x)+f(y)
Zu 1)
wenn ich das für o.g. Abbildung einsetze komme ich zu folgendem Ergebnis:
[mm] f(\lambda x)=f(\lambda [/mm] x1* [mm] \lambda [/mm] x2, [mm] \lambda [/mm] *0, [mm] \lambda [/mm] *x3) = [mm] \lambda [/mm] f(x1*x2,0,x3)
Da das ja nicht für alle erdenklichen Werte gilt, ist die Abbildung meiner Auffassung nach nicht Linear! Ist das so korrekt ?
Danke !
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Hallo amarus,
> Ich soll prüfen ob folgende Abbildungen linearität
> aufweisen:
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> f:R³ -> R³ mit f(x1,x2,x3) := [mm](x1x2,0,x3)^{T}[/mm]
> Ich würde die beiden Kritieren zur Linearität prüfen:
>
> 1) [mm]f(\lambda x)=\lambdaf(x)[/mm]
> 2) f(x+y)=f(x)+f(y)
>
> Zu 1)
>
> wenn ich das für o.g. Abbildung einsetze komme ich zu
> folgendem Ergebnis:
>
> [mm]f(\lambda x)=f(\lambda[/mm] x1* [mm]\lambda[/mm] x2, [mm]\lambda[/mm] *0, [mm]\lambda[/mm]
> *x3) = [mm]\lambda[/mm] f(x1*x2,0,x3)
>
> Da das ja nicht für alle erdenklichen Werte gilt, ist die
> Abbildung meiner Auffassung nach nicht Linear! Ist das so
> korrekt ?
>
Ja, das ist so korrekt.
> Danke !
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 27.01.2013 | | Autor: | amarus |
Perfekt  muss ich das jetzt noch iwie kenntlich machen, dass das offensichtlich nicht linear ist , oder reicht das so vollkommen aus ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 So 27.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Perfekt muss ich das jetzt noch iwie kenntlich machen,
> dass das offensichtlich nicht linear ist , oder reicht das
> so vollkommen aus ?
mir würde es reichen, wenn Du es so schreiben würdest:
Per Definitionem von [mm] $f\,$ [/mm] gilt für [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T$
[/mm]
[mm] $$f(\lambda x)=(\;(\lambda x_1)*(\lambda x_2),\;0,\;\lambda x_3\;)^T=\lambda*(\;\red{\lambda}*x_1*x_2,\;0,\;x_3)^T\,,$$
[/mm]
was i.a.
[mm] $$\blue{\not=}\;\lambda*f(x)=\lambda*(\;x_1*x_2,\;0,\;x_3\;)^T$$
[/mm]
ist. (Das rote [mm] $\lambda$ [/mm] macht dies deutlich!)
Aber auch dann kann man das dennoch kritisieren. Denn dass dann
"offensichtlich"
[mm] $$(\*)\;\;\;\;f(\lambda*x) =\lambda [/mm] *f(x)$$
NICHT FÜR (alle) [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] und (alle) $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] (kurz: für alle [mm] $(\lambda,x) \in \IR \times \IR^3$) [/mm] gilt, hast Du
ja auch dann noch nicht direkt begründet. Zumal diese Gleichheit ja, wenn etwa
[mm] $\lambda=0$ [/mm] ist, sogar für alle $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] doch gilt...
Fazit: Gib' ein konkretes Paar [mm] $(\lambda, [/mm] x) [mm] \in \IR \times \IR^{3 \times 1}$ [/mm] derart an,
dass man sieht, dass [mm] $(\*)$ [/mm] für dieses nicht gilt. (Wenn eine Gleichheit "für alle [mm] $y\,$" [/mm]
gelten soll, dann ist die Falschheit dieser Aussage bewiesen, wenn es
"(mindestens) ein [mm] $y_0$ [/mm] gibt", so dass die Gleichheit für dieses [mm] $y_0$ [/mm] falsch ist.
Kurzgesagt: "Gegenbeweis per Gegenbeispiel!")
P.S. Die Vorüberlegung mit dem roten [mm] $\lambda$ [/mm] sollte/kann man aber dennoch
so machen, damit man sich "bei der Suche nach einem Gegenbeispiel" nicht
'in nicht zielführenden Wegen zu stark verbeißt'. Ob man sie dann erwähnt,
um deutlicher zu machen, wie man das Gegenbeispiel , etwa [mm] $\lambda=2$ [/mm] und [mm] $x=(1,1,0)^T$
[/mm]
gefunden hat, ist dann eine andere Frage. Kommt drauf an, ob man
jemand ist, der seine "konstruktiven Wege" gerne mitteilt, so dass andere
auch daraus lernen können (Dozenten SOLLTEN so etwas eigentlich lehren!),
oder ob sich das Gegenüber eher für das Ergebnis der Überlegungen
interessiert, und gar nicht so sehr wissen will, wie man zu diesem Ergebnis
gekommen ist. (In der Mathematik stellt man oft ja einfach nur einen
Beweis als Ergebnis vor, wobei nur die einzelnen Beweisschritte NACHVOLLZIEHBAR
(RICHTIG) sein müssen. Die ganzen Vorüberlegungen mit eventuell
experimentellen Abschätzungen, die vielleicht erstmals scheiterten, die
aber dazu führten, dass man dadurch auch andere Erkenntnisse gemacht
hat, wo man an anderer Stelle vielleicht mal "versuchen könnte, was
einzubauen", werden ja oft gar nicht wirklich vorgestellt. Das bleibt ein
wenig verschleiert. Dabei sind diese "Spielereien" eigentlich ein
unerläßliches Mittel, wenn man selbst eine Aufgabe lösen soll!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 So 27.01.2013 | | Autor: | amarus |
Ok ! Danke für die ausführliche Hilfe ! Jetzt blick ich doch etwas besser durch das Thema !
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