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| Aufgabe | Sei für einen Körper K die Menge
C(k) = { [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] | a,b [mm] \in [/mm] K}.
Zigen Sie, dass mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matritzen c(k) einen Ring bildet. Überprüfen Sie, ob [mm] C(\IQ) [/mm] , [mm] C(\bruch{\IZ}{2\IZ} [/mm] Körper sind. |
Hallo,
aaaalso, :)
habe hier die Lösung vom Prof. vor mir, aber diese ist mir an einigen Stellen unklar.
Was gemacht wurde:
Zunächst Wurde bewiesen, dass die Addition und Multiplikation Wohldeffiniert sind.
Danach wurde bewiesen das das Ganze ein Ring ist.
Soweit alles gut :)
Für Beweis des Körpers, hat man hat man bewiesen, dass es ein Inverses bezüglich der Multiplikation gibt. - Auch logisch :)
Nun zu meinem Verständnissproblem:
Es soll ja nun noch geprüft werden ob [mm] \bruch{\IZ}{2\IZ} [/mm] ebenfalls Körper ist.
Also wieder prüfen ob es ein Inverses bezüglich der Multiplikation gibt.
Hier steht:
a = 1, b = 1 ist [mm] 1^{2} [/mm] + [mm] 1^{2} [/mm] = 0, dh.
A= [mm] \vmat{1 & 1 \\ 1 & 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow C(\bruch{\IZ}{2\IZ}) [/mm] ist kein Körper.
=======================================
Was ich nicht verstehe:
Warum wird hier a = 1 und b = 1 definiert?
Wie kommt die Matrix zu stande?
Zum "nicht invertierbar"....
Wird dies draus gefolgert weil beim Umformen in die Zeilenstufenform eine Nullzeile entsteht?
Liebe Grüße
steffi
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Steffi1988!
> Sei für einen Körper K die Menge
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> C(k) = { [mm]\pmat{ a & b \\ -b & a }[/mm] | a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K}.
> Zigen Sie, dass mit der üblichen Addition und
> Multiplikation von Matritzen c(k) einen Ring bildet.
> Überprüfen Sie, ob [mm]C(\IQ)[/mm] , [mm]C(\bruch{\IZ}{2\IZ}[/mm] Körper
> sind.
>
> Es soll ja nun noch geprüft werden ob [mm]\bruch{\IZ}{2\IZ}[/mm]
> ebenfalls Körper ist.
> Also wieder prüfen ob es ein Inverses bezüglich der
> Multiplikation gibt.
>
> Hier steht:
>
> a = 1, b = 1 ist [mm]1^{2}[/mm] + [mm]1^{2}[/mm] = 0, dh.
>
> A= [mm]\vmat{1 & 1 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow C(\bruch{\IZ}{2\IZ})[/mm] ist kein Körper.
>
> =======================================
>
> Was ich nicht verstehe:
>
> Warum wird hier a = 1 und b = 1 definiert?
> Wie kommt die Matrix zu stande?
Ich glaube, das ist einfach nur ein Beispiel für ein Element, das kein Inverses besitzt, und da ja wenn, dann alle Elemente ein Inverses besitzen müssen, ist damit widerlegt, dass das Ganze ein Körper ist. Die Matrix kommt natürlich durch Einsetzen zustande - in [mm] 2\IZ [/mm] ist -1=1. Aber hat es einen Grund, warum du hier senkrechte Striche anstatt runder Klammern nimmst?
> Zum "nicht invertierbar"....
> Wird dies draus gefolgert weil beim Umformen in die
> Zeilenstufenform eine Nullzeile entsteht?
Entweder so, oder du kannst die Determinante berechnen, die ist =0, was bedeutet, dass die Matrix nicht invertierbar ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo,
die wesentlichen Dinge hat Bastiane Dir ja schon gesagt.
Wenn man das, was Du in der Vorlesung notiert hast, verständlich und ausführlich aufschreiben würde, sähe das in etwa so aus:
Wir zeigen, daß es eine von der Nullmatrix verschiedene Matrix A [mm] \in C({\IZ} [/mm] / [mm] {2\IZ} [/mm] ) gibt, die nicht invertierbar ist.
Mit
> a = 1, b = 1
hat man [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }.
[/mm]
Es ist det A=
> [mm][mm] \vmat{1 & 1 \\ 1 & 1}
[/mm]
[mm] =1^2-1^2=
[/mm]
> [mm]1^{2}[/mm] + [mm]1^{2}[/mm] = 0, dh.
die Matrix A ist nicht invertierbar
> [mm]\Rightarrow C(\bruch{\IZ}{2\IZ})[/mm] ist kein Körper.
Gruß v. Angela
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