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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:46 So 22.03.2009 | | Autor: | Alex__ |
| Aufgabe | | Zeige, dass man aus einem projektiven Raum einen affinen Raum und umgekehrt gewinnen kann. |
Hi,
sei V ein $K$-Vektorraum und $A$ eine Menge. Das Tripel $(A; V; [mm] \phi)$ [/mm] heißt affiner Raum, falls [mm] $\phi: [/mm] A [mm] \times [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] V$ eine Abbbildung mit folgenden Eigenschaften ist:
1. Zu jedem Punkt $p [mm] \in [/mm] A$ und jedem Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ gibt es genau einen Punkt [mm] $q\in [/mm] A$ mit [mm] $\phi(p,q)=v$.
[/mm]
2. Für alle $p,q, [mm] r\in [/mm] A$ gilt [mm] $\phi(p,q) [/mm] + [mm] \phi(q,r) [/mm] = [mm] \phi(p,r)$.
[/mm]
Es sei [mm] $\phi(p,q) [/mm] =: p+q$.
Ein projektiver Raum $P$ sei die Menge aller 1-dimensionalen Untervektorräume eines $K$-Vektorraums $V$.
Ohne Einschränkungen können wir uns auf Standardräume [mm] $A(K^n)$ [/mm] bzw. [mm] $P(K^{n+1})$ [/mm] beschränken. Die homogenen Koordinaten sowie eine uneigentliche Hyperebene [mm] $H_{\infty}$ [/mm] sei wie üblich über die Äquivalenzklassen [mm] $Kv:=\{\lambda v | \lambda\in K\}$ [/mm] eingeführt.
Sei nun [mm] $\iota: A(K^n) \rightarrow P(K^{n+1})$ [/mm] definiert durch [mm] $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto [x_1: \ldots, x_n:1]$, [/mm] dann besteht [mm] $Bild(\iota)$ [/mm] gerade aus [mm] $P(K^{n+1}) \setminus H_{\infty}$. [/mm] Soweit so gut.
Wie könnte man nun am geschichtesten zeigen, dass [mm] $Bild(\iota)$ [/mm] ein affiner Raum isomorph zu [mm] $A(K^n)$ [/mm] ist ohne affine Abbildungen einzuführen?
Wohl einfach die Axiome zeigen und dann den Iso erklären, oder?
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 24.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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