Projektive Geraden < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei der Grundkörper K algebraisch abgeschlossen.
Sei [mm] P\in\IP^{m}_{K}. [/mm] Die Menge aller projektiven Geraden durch P entspricht umkehrbar eindeutig den eindimensionalen Untervektorräumen von [mm] K^{m+1}/P. [/mm] Also trägt die Menge der Geraden durch P die Struktur des [mm] \IP^{m-1}_{K}.
[/mm]
Sei V eine projektive algebraische Menge in [mm] \IP^{m+1}_{K} [/mm] ist dann die Menge aller Geraden durch P, die V schneiden eine projektiv algebraische Menge in [mm] \IP^{m-1}_{K}? [/mm] Beweisen Sie ihre Behauptung. |
Heyho!
Also oBdA sei P=[0:...:0:1], dann kann eine Gerade durch [mm] Q=[q_{0}:...:q_{m}] [/mm] und P aufgefasst werden als Punkt [mm] [q_{0}:...:q_{m-1}]\in\IP^{m-1}_{K}, [/mm] sei I(V) das Verschwindungsideal von V in [mm] K[X_{0},...,X_{m}]
[/mm]
Lieg ich richtig, wenn ich behaupte, dass [mm] V'=\{[v_{0}:...:v_{m-1}]\in\IP^{m-1}_{K}|\exists v_{m}\in K: f(v_{0},...,v_{m})=0 \forall f\in I(V)\} [/mm] die Menge aller Geraden durch P ist, die V schneidet?
Sei [mm] J:=I(V)\cap K[X_{0},...X_{m-1}] [/mm]
Behauptung: V'=V(J)
Die eine Inklusion ist klar...die andere nicht und ich bin mir auch nicht sicher, obs überhaupt stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Mi 16.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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