Projektion p auf Ebene in IR^3 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Di 08.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Finden Sie die Projektion p des Vektors b = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] auf die Ebene x + y + z = 0 in [mm] \IR^3.
[/mm]
Tipp Man kann mit einer Basis für den zweidimensionalen Unterraum arbeiten, noch besser mit einer orthogonalen oder orthonormalen Basis. |
Hallo,
ich habe so begonnen: [mm] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} [/mm] = 0
Ich habe nun folgende Basis des zweidimensionalen Unterraums gewählt:
[mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Auf die beiden Vektoren habe ich dann das Gram-Schmidt-Verfahren angewandt und erhalte folgende beiden orthonormalen Vektoren, die dann die Basis ergeben:
[mm] q_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] q_2 [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}} \begin{pmatrix} -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] -> Q = [mm] \begin{bmatrix} -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ 0 & \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{3}} \end{bmatrix}
[/mm]
Die Projektionsmatrix lautet: P = [mm] A(A^T A)^{-1} A^T [/mm] = Q [mm] Q^T [/mm] (wegen der orthonormalen Basis vereinfacht sich dies)
P = Q [mm] Q^T [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ 0 & \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{3}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} & \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{3}} \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \end{bmatrix}
[/mm]
Die Projektion p ist dann p = Pb = [mm] \begin{bmatrix} \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
Würde die so stimmen? Oder habe ich schon bei der Wahl der Basis einen Fehler gemacht?
Besten Dank
itse
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> Finden Sie die Projektion p des Vektors b = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
> auf die Ebene x + y + z = 0 in [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Tipp Man kann mit einer Basis für den zweidimensionalen
> Unterraum arbeiten, noch besser mit einer orthogonalen oder
> orthonormalen Basis.
Hallo,
mal anschaulich:
was passiert, wenn man etwas orthogonal auf eine Ebene projiziert?
Die Komponente, die senkrecht zur Ebene ist "fallt weg".
> Hallo,
>
> ich habe so begonnen: [mm]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}[/mm]
> = 0
>
> Ich habe nun folgende Basis des zweidimensionalen
> Unterraums gewählt:
>
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Damit hast Du eine Basis der Ebene, [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ist senkrecht dazu.
Du kannst nun so weitermachen: schreibe den zu projizierenden Vektor
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] als [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+c\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Die Projektion auf die Ebene ist dann der Vektor [mm] a\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[/mm]
Wenn ich das ausrechne, bekomme ich etwas anderes als Du mit Deinen Matrizen.
Ich mag das nicht nachrechnen, habe jedoch einen Fehler entdeckt, vielleicht liegt's daran:
das rotmarkierte Minuszeichen stimmt doch nicht.
>
>
> Auf die beiden Vektoren habe ich dann das
> Gram-Schmidt-Verfahren angewandt und erhalte folgende
> beiden orthonormalen Vektoren, die dann die Basis ergeben:
>
>
> [mm]q_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]q_2[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{2}{3}} \begin{pmatrix} -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> -> Q = [mm]\begin{bmatrix} -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \red{-}\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ 0 & \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{3}} \end{bmatrix}[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Die Projektionsmatrix lautet: P = [mm]A(A^T A)^{-1} A^T[/mm] = Q [mm]Q^T[/mm]
> (wegen der orthonormalen Basis vereinfacht sich dies)
>
> P = Q [mm]Q^T[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} \\ 0 & \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{3}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} & -\bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}} & \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{3}} \end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \end{bmatrix}[/mm]
>
> Die Projektion p ist dann p = Pb = [mm]\begin{bmatrix} \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Würde die so stimmen? Oder habe ich schon bei der Wahl der
> Basis einen Fehler gemacht?
>
> Besten Dank
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 09.12.2009 | | Autor: | itse |
Hallo angela,
> > Ich habe nun folgende Basis des zweidimensionalen
> > Unterraums gewählt:
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Damit hast Du eine Basis der Ebene, [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ist
> senkrecht dazu.
>
> Du kannst nun so weitermachen: schreibe den zu
> projizierenden Vektor
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] als
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+c\vektor{1\\1\\1}.[/mm]
Okay, ich habe es nun so berechnet
[mm] \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 6 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 6 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{bmatrix}
[/mm]
Daraus ergibt sich nun für a,b,c folgendes:
3c = 9 -> c = 3
-b+2c = 3 -> b = 3
-a-b+c = 1 -> a = -1
Wenn ich nun a und b in die Projektion einsetze:
> Die Projektion auf die Ebene ist dann der Vektor
> [mm]a\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm][/mm]
[mm] -1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
erhalte ich als Lösung die Projektion p = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}.
[/mm]
Also das was ich über die Matrizen auch ausgerechnet habe, das Minuszeichen stimmt, ich hab es beim Vektor vergessen.
Was hast du denn als Ergebnis herausbekommen?
Beste Grüße
itse
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Hallo itse,
> Hallo angela,
>
>
> > > Ich habe nun folgende Basis des zweidimensionalen
> > > Unterraums gewählt:
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Damit hast Du eine Basis der Ebene, [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ist
> > senkrecht dazu.
> >
> > Du kannst nun so weitermachen: schreibe den zu
> > projizierenden Vektor
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] als
> > [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+c\vektor{1\\1\\1}.[/mm]
>
> Okay, ich habe es nun so berechnet
>
> [mm]\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 6 \end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 6 \end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich nun für a,b,c folgendes:
>
> 3c = 9 -> c = 3
> -b+2c = 3 -> b = 3
> -a-b+c = 1 -> a = -1
>
> Wenn ich nun a und b in die Projektion einsetze:
>
> > Die Projektion auf die Ebene ist dann der Vektor
> > [mm]a\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm][/mm]
>
> [mm]-1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> erhalte ich als Lösung die Projektion p = [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}.[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also das was ich über die Matrizen auch ausgerechnet habe,
> das Minuszeichen stimmt, ich hab es beim Vektor vergessen.
>
> Was hast du denn als Ergebnis herausbekommen?
Dasselbe wie Du.
>
> Beste Grüße
> itse
Gruss
MathePower
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