Projektion auf span < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | Zu den[mm]\IR^4[/mm]-Vektoren
v1:=[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm], v2:=[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm], v3:=[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm], v4:=[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}[/mm]
- Die Projektion von v4 auf span[mm]\left\{v1,v2,v3\right\}[/mm] ist v1.
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Hallo!
Ich habe schon unzählige Minuten mit dem Durchwälzen von meinen Mathbüchern und des Internets damit verbracht, irgendetwas über die Projektion auf einen Raum herauszufinden, jedoch fand ich immer nur die Projektion von einem Vektor auf einen Lösungsraum.
Muss ich nun eine Orthogonalbasis des spans schaffen, um die Projektion herauszufinden, oder wie geht man da vor?
Vielen Dank im Voraus und lieben Gruß!
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Hallo Domwow,
> [mm] v1:=\vektor{1\\1\\1\\1}\quad v2:=\vektor{1\\-1\\-1\\1}\quad v3:=\vektor{1\\1\\0\\0}
[/mm]
> [mm] v4:=\vektor{1\\2\\2\\2}
[/mm]
> - Die Projektion von v4 auf span[mm]\left\{v1,v2,v3\right\}[/mm] ist v1.
Diese Aussage trifft nicht zu, denn dann sollte
v4-v1 insbesondere orthogonal zu v1 sein, was
nicht der Fall ist.
Um den richtigen Projektionsvektor p zu finden,
kann man das Gleichungssystem
[mm] (p-v4)*v_i=0 [/mm] für i=1,2,3
$\ [mm] p\,=\,x*v1+y*v2+z*v3$
[/mm]
lösen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Vielen Dank!
Die geometrische Sichtweise ist sehr erklärend!
Lieben Gruß!
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