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Forum "Lineare Abbildungen" - Projektion auf Unterraum
Projektion auf Unterraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Projektion auf Unterraum: Idee und Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:39 Fr 14.02.2014
Autor: mutator

Aufgabe
Zu einer linearen Abbildung B: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n soll die Projektion des Vektors x \in \mathbb{R}^n auf den Raum Z := \{ x \in \mathbb{R}^n \, : \, (Bx, y_i) = 0 \} mit y_i \in \mathbb{R}^n für i = 1, ... , k bestimmt werden.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=191887

Was ich mir bisher überlegt habe ist, dass man doch wegen \mathbb{R}^n = Z \cup Z^{\perp} das  x schreiben kann als x = x_Z + x_{Z^{\perp}}, wobei x_Z \in Z und x_{Z^{\perp}} \in Z^{\perp}.

Demnach müsste ich doch x_Z durch x_Z = x - x_{Z^{\perp}} berechnen können. Als Basis von Z^{\perp} habe ich span\{ B^Ty_1, ... , B^Ty_k\} genommen.  Für x_Z sollte doch dann x_Z = x - \beta_1 B^T y_1 - \beta_2 B^T y_2 gelten.

Multipliziere ich diese Gleichung mit B^Tz_1 bis B^Tz_k erhalte ich k Gleichungen und somit ein lineares Gleichungssystem für \beta_1, \ldots , \beta_k. Die Lösung des Gleichungssystems sind dann meine Koeffizienten, oder mache ich da was falsch?

Vielen Dank für eure Hilfe
        
Bezug
Projektion auf Unterraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Fr 14.02.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

eine Frage zur Aufgabenstellung:
Was ist (.,.) in der Definition von Z? Ein Skalarprodukt, wennn ja welches?

und erste Anmerkungen:
> $ [mm] \mathbb{R}^n [/mm] = Z [mm] \cup Z^{\perp} [/mm] $

Hier meinst du wohl $ [mm] \mathbb{R}^n [/mm] = Z [mm] \oplus Z^{\perp} [/mm] $ (direkte Summe)
> Als Basis von $ [mm] Z^{\perp} [/mm] $ habe ich $ [mm] span\{ B^Ty_1, ... , B^Ty_k\} [/mm] $
> genommen.

span(..) ist ein Vektorraum, also sicher keine Basis. Auch die Vektoren die in der Klammer stehen sind hier im Allgmeinen nicht linaer unabhängig, also keine Basis.


Bezug
        
Bezug
Projektion auf Unterraum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 16.02.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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