Projektion / Involution < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 Do 24.06.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich weiß nich ob ich hier grad nen Denkfehler mache, weil es mir einfach zu banal vorkommt:
Dei P: V-> V ein Endomorphismus. Dann ist P Projektion, wenn P°P = P...
--> Frage: ist P dann nicht immer die id-Abbildung?
...und psy : V-> V heißt Involution, wenn psy ° psy = id gilt.
Zeige:
phi ist Projektion <=> psy := (2phi - id) ist Involution.
Ich habe mir folgendes gedacht:
aus der Überlegung oben, dass jede Projektion eine Id-Abbildung ist (auf jeweils die Komponenten des Zielvektorraums, was bei Endomorphismen alle komponenten sind) , folgt, dass auch phi die id-Abbildung ist.
damit folgt: psy = 2id - id ist involution, also psy = id involution, was klar ist,
denn id ° id = id
Irgendwie kommt mir das zu banal vor. Wo steckt der Denkfehler? (Auch wenn die Abgabe morgen um 7 ist, würd ichs gern wissen, weil das dauert, bis man die HA zurückbekommt..)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Do 24.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hathorman,
> Dei P: V-> V ein Endomorphismus. Dann ist P Projektion,
> wenn P°P = P...
>
> --> Frage: ist P dann nicht immer die id-Abbildung?
Nein, denn die Nullabbildung würde das ja auch erfüllen.
> ...und psy : V-> V heißt Involution, wenn psy ° psy = id
> gilt.
>
> Zeige:
>
> phi ist Projektion <=> psy := (2phi - id) ist Involution.
>
>
> Ich habe mir folgendes gedacht:
> aus der Überlegung oben, dass jede Projektion eine
> Id-Abbildung ist (auf jeweils die Komponenten des
> Zielvektorraums, was bei Endomorphismen alle komponenten
> sind) , folgt, dass auch phi die id-Abbildung ist.
>
> damit folgt: psy = 2id - id ist involution, also psy = id
> involution, was klar ist,
>
> denn id ° id = id
>
>
> Irgendwie kommt mir das zu banal vor. Wo steckt der
> Denkfehler? (Auch wenn die Abgabe morgen um 7 ist, würd
> ichs gern wissen, weil das dauert, bis man die HA
> zurückbekommt..)
Das geht natürlich so nicht. Die Bedingung [mm] $P\circ [/mm] P=P$ besagt doch nur: Wenn man die Abbildung P zweimal anwendet, verändert sich das Bild nicht mehr.
Beispiel: In [mm] \IR^2 [/mm] die senkrechte Projektion auf die x-Achse.
Nach (der einmaligen) Anwendung der Projektion landet jeder Punkt S ja auf der x-Achse P(S)=S'. Projiziert man S' erneut, dann wird S' natürlich auf sich selbst abgebildet (Fixpunkt) P(S')=S', wir haben deswegen: $P(P(S))=P(S')=S'=P(S)$, also [mm] $P\circ [/mm] P=P$.
Die Behauptung kann so gezeigt werden:
[mm] "$\Rightarrow$" ($\phi$ [/mm] Projektion [mm] $\Rightarrow$ $\psi [/mm] := [mm] 2\phi-id$ [/mm] ist Involution)
z.z.: [mm] $(2\phi-id)\circ(2\phi-id)=id$
[/mm]
Sei [mm] $\phi$ [/mm] Projektion, dann gilt [mm] $\phi\circ\phi=\phi$. [/mm] Außerdem gilt:
[mm] $(2\phi-id)\circ(2\phi-id)$
[/mm]
[mm] $=2\phi\circ (2\phi-id)-id\circ(2\phi-id)$ [/mm] (weil [mm] $id\circ(2\phi-id)=2\phi-id$)
[/mm]
[mm] $=2\phi\circ (2\phi-id)-(2\phi-id)$ [/mm] (weil [mm] $2\phi\circ (2\phi-id)=2\phi\circ(2\phi)-2\phi\circ [/mm] id$, da [mm] \phi [/mm] linear)
[mm] $=2\phi\circ(2\phi)-2\phi\circ id-(2\phi-id)$ [/mm] (weil [mm] $2\phi\circ(2\phi)=4\phi\circ(\phi)$)
[/mm]
[mm] $=4\phi\circ(\phi)-2\phi-2\phi+id$ [/mm] (weil [mm] $\phi$ [/mm] Projektion:)
[mm] $=4\phi-2\phi-2\phi+id$
[/mm]
$=id$
[mm] $\Rightarrow$ $2\phi-id$ [/mm] ist Involution.
[mm] "$\Leftarrow$" ($2\phi-id$ [/mm] ist Involution [mm] $\Rightarrow$ $\phi$ [/mm] ist Projektion)
z.z.: [mm] $\phi\circ\phi=\phi$
[/mm]
Es gilt also [mm] $(2\phi-id)\circ(2\phi-id)=id$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $2\phi\circ(2\phi-id)-id\circ (2\phi-id)=id$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $2\phi\circ(2\phi)-2\phi\circ id-(2\phi-id)=id$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $4\phi\circ(\phi)-2\phi-2\phi+id=id$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $4\phi\circ(\phi)-2\phi-2\phi=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $4\phi\circ(\phi)=4\phi$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\phi\circ(\phi)=\phi$ $\Box$
[/mm]
So, jetzt hast du mich doch noch zum Arbeiten gebracht 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Do 24.06.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Marc!
Danke erstmal für deine Hilfe zu so später stunde!
hmm, kann ich einfach eine Art Distributivgesetz hier anwenden??? Wenn ja, dann hätt ich das wissen müssen *g*
Gruß Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:52 Do 24.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Micha,
> hmm, kann ich einfach eine Art Distributivgesetz hier
> anwenden??? Wenn ja, dann hätt ich das wissen müssen *g*
ich denke schon, ich war mir auch zuerst nicht sicher.
Aber wenn man konkrete Vektoren einsetzt, wird es deutlich (es sind ja lineare Abbildungen):
[mm] $\phi\circ(\psi_1+\psi_2)(x)$
[/mm]
[mm] $=\phi((\psi_1+\psi_2)(x))$
[/mm]
[mm] $=\phi((\psi_1(x)+\psi_2(x))$
[/mm]
Jetzt Linearität ausnutzen [mm] ($\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$)
[/mm]
[mm] $=\phi(\psi_1(x))+\phi(\psi_2(x))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\phi\circ(\psi_1+\psi_2)=\phi\circ\psi_1+\phi\circ\psi_2$
[/mm]
Gute Nacht,
Marc
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