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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] Körper und W,W' zwei Teilräume
W:= [mm] \{ x \in \IK^5 | x_4=x_5=0\}
[/mm]
W':= [mm] \{ x \in \IK^5 | x_1=x_2=x_3=0\}
[/mm]
Bestimme die Matrizen zur Projektion auf W längs W' und zur Projektion auf W' längs W. |
Ich kann mir unter den Begriff "Projektion" noch nicht wirklich viel vorstellen.
[mm] \pi_1 [/mm] : V->V mit [mm] \pi_1(W) [/mm] = [mm] id_W, \pi_1 [/mm] (W') =0, [mm] \pi_1 \circ\ \pi_1 [/mm] = [mm] \pi_1
[/mm]
[mm] \pi_2 [/mm] : V->V mit [mm] \pi_2(W) [/mm] = 0, [mm] \pi_1 [/mm] (w') [mm] =id_{W'}, \pi_2 \circ\ \pi_2 [/mm] = [mm] \pi_2
[/mm]
die identische Abbildung [mm] id_v [/mm] : V->V [mm] id_v(a) [/mm] =a
0-Abbildung [mm] 0_v:V->V, 0_v(a) [/mm] =0
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> Sei [mm]\IK[/mm] Körper und W,W' zwei Teilräume
> W:= [mm]\{ x \in \IK^5 | x_4=x_5=0\}[/mm]
> W':= [mm]\{ x \in \IK^5 | x_1=x_2=x_3=0\}[/mm]
>
> Bestimme die Matrizen zur Projektion auf W längs W' und
> zur Projektion auf W' längs W.
> Ich kann mir unter den Begriff "Projektion" noch nicht
> wirklich viel vorstellen.
Hallo,
die Leinwand ist der Raum auf welchen projiziert wird, die Richtung des Lichtstrahls, welcher aus dem Diaprojektor kommt, der Raum, längs dem projiziert wird.
>
> [mm]\pi_1[/mm] : V->V mit [mm]\pi_1(W)[/mm] = [mm]id_W, \pi_1[/mm] (W') =0, [mm]\pi_1 \circ\ \pi_1[/mm] = [mm]\pi_1[/mm]
Genau.
Alle Vektoren, die in W sind, werden auf sich selbst abgebildet, alle, die in Richtung W' sind, auf den Nullvektor.
Entscheidend ist hier natürlich, daß W [mm] \oplus W'=\IR^5.
[/mm]
Wenn Du wissen willst, auf welchen Vektor ein beliebiger Vektor x vermöge [mm] \pi_1 [/mm] abgebildet wird, mußt Du erstmal x zerlegen in eine Summe aus einem Vektor aus W und einem aus W'.
Tip: bestimme zunächst Basen von W und W'.
LG Angela
> [mm]\pi_2[/mm] : V->V mit [mm]\pi_2(W)[/mm] = 0, [mm]\pi_1[/mm] (w') [mm]=id_{W'}, \pi_2 \circ\ \pi_2[/mm]
> = [mm]\pi_2[/mm]
>
> die identische Abbildung [mm]id_v[/mm] : V->V [mm]id_v(a)[/mm] =a
> 0-Abbildung [mm]0_v:V->V, 0_v(a)[/mm] =0
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Lu- |
hei
> Wenn Du wissen willst, auf welchen Vektor ein beliebiger Vektor x vermöge $ [mm] \pi_1 [/mm] $ abgebildet wird, mußt Du erstmal x zerlegen in eine Summe aus einem Vektor aus W und einem aus W'.
x= [mm] \vektor{x_1 \\x_2\\x_3\\0\\0} +\vektor{0\\ 0\\0\\x_4\\x_5}
[/mm]
Erste Summand [mm] \in [/mm] W und zweite Summand [mm] \in [/mm] W'
[mm] \pi_1 [/mm] (x) [mm] =\pi_1 [/mm] ( [mm] \vektor{x_1 \\x_2\\x_3\\0\\0} +\vektor{0\\ 0\\0\\x_4\\x_5}) [/mm] = [mm] \pi_1 (\vektor{x_1 \\x_2\\x_3\\0\\0}) [/mm] + [mm] \pi_1 (\vektor{0\\ 0\\0\\x_4\\x_5})=\vektor{x_1 \\x_2\\x_3\\0\\0}+\vektor{0 \\0\\0\\0\\0}=\vektor{x_1 \\x_2\\x_3\\0\\0}
[/mm]
Da [mm] \pi_1 [/mm] linear und
$ [mm] \pi_1(W) [/mm] $ = $ [mm] id_W, \pi_1 [/mm] $ (W') =0
Wie gehts nun weiter. Weil In der Angabe steht ja: Bestiimme die Matriw zur Projektion auf W längs W'. Ist das nun oben schon die Lösung?
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> [mm]\pi_1[/mm] (x) [mm]=[...]=\vektor{x_1 \\
x_2\\
x_3\\
0\\
0}[/mm]
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> Wie gehts nun weiter. Weil In der Angabe steht ja:
> Bestiimme die Matriw zur Projektion auf W längs W'. Ist
> das nun oben schon die Lösung?
Natürlich nicht. Oder siehst Du 'ne Matrix?
Du brauchst jetzt die Darstellungsmatrix von [mm] \pi_1 [/mm] bzgl. der Standardbasis E.
Wie geht das?
Sprüchlein:
In den Spalten der Darstellungsmatrix von f (bzgl der Standardbasis) stehen die Bilder der Standardbasisvektoren unter f (in Koordinaten bzgl. der Standardbasis).
Was ist also zu tun?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 29.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Hei, danke für den tipp.
[mm] \pi_1(x)=\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3\\ 0\\ 0}
[/mm]
Basen von W: [mm] e_1=\vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0}, e_2=\vektor{0 \\ 1\\ 0\\ 0\\ 0},e_3=\vektor{0 \\ 0\\ 1\\ 0\\ 0} [/mm] und Basen von [mm] W':e_4=\vektor{0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0},e_5=\vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 1}. [/mm] Die auch die Standartbasen vom [mm] \IK^5 [/mm] bilden
[mm] \pi_1(\vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0})=\vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0} [/mm] = [mm] 1*e_1 +0*e_2+0*e_3+0*e_4+0*e_5
[/mm]
[mm] \pi_1(\vektor{0 \\ 1\\ 0\\ 0\\ 0})=\vektor{0 \\ 1\\ 0\\ 0\\ 0}= 0*e_1 +1*e_2+0*e_3+0*e_4+0*e_5
[/mm]
[mm] \pi_1(\vektor{0 \\ 0\\ 1\\ 0\\ 0})=\vektor{0 \\ 0\\ 1\\ 0\\ 0}= 0*e_1+0*e_2+1*e_3+0*e_4+0*e_5
[/mm]
[mm] \pi_1(\vektor{0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0})=\vektor{0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0}=0*e_1+0*e_2+0*e_3+0*e_4+0*e_5
[/mm]
[mm] \pi_1(\vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 1})=\vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0}=0*e_1+0*e_2+0*e_3+0*e_4+0*e_5
[/mm]
als Linear kombinationen der Basisvektoren stelle ich diese dar.
Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen sind die Einträge
in die entsprechende Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 &0&0&0\\ 0 & 1&0&0&0 \\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0}
[/mm]
Passt es so?
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Hallo,
fast alles ist richtig.
Und wenn Du "Standard" nun selbst auch noch mit d schreibst ist es ganz richtig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 29.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Gut,danke.
Dann steht noch da: Bestimme die Matrizen zur Spiegelung an W längs W' und zur Spiegelung an W' längs W
Im Skriptum hab ich die Formel gefunden:
[mm] \delta= \pi_1 [/mm] - [mm] \pi_2, [/mm] V->V
bei [mm] \pi_1 [/mm] kam raus [mm] A_1= [/mm] $ [mm] \pmat{ 1 & 0 &0&0&0\\ 0 & 1&0&0&0 \\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0} [/mm] $
bei [mm] \pi_2 [/mm] kam raus [mm] A_2= [/mm] $ [mm] \pmat{ 0 & 0 &0&0&0\\ 0 & 0&0&0&0 \\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1} [/mm] $
[mm] A_1 [/mm] - [mm] A_2 [/mm] = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 &0&0&0\\ 0 & 1&0&0&0 \\0&0&1&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&-1} [/mm] $
und
[mm] A_2 [/mm] - [mm] A_1 [/mm] = $ [mm] \pmat{ -1 & 0 &0&0&0\\ 0 & -1&0&0&0 \\0&0&-1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1} [/mm] $
Sind dass dann die beiden ergebnisse?
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> Gut,danke.
> Dann steht noch da: Bestimme die Matrizen zur Spiegelung
> an W längs W' und zur Spiegelung an W' längs W
>
> Im Skriptum hab ich die Formel gefunden:
> [mm]\delta= \pi_1[/mm] - [mm]\pi_2,[/mm] V->V
>
> bei [mm]\pi_1[/mm] kam raus [mm]A_1=[/mm] [mm]\pmat{ 1 & 0 &0&0&0\\
0 & 1&0&0&0 \\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0}[/mm]
>
> bei [mm]\pi_2[/mm] kam raus [mm]A_2=[/mm] [mm]\pmat{ 0 & 0 &0&0&0\\
0 & 0&0&0&0 \\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1}[/mm]
>
> [mm]A_1[/mm] - [mm]A_2[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 &0&0&0\\
0 & 1&0&0&0 \\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&-1}[/mm]
>
> und
> [mm]A_2[/mm] - [mm]A_1[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 0 &0&0&0\\
0 & -1&0&0&0 \\
0&0&-1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1}[/mm]
>
> Sind dass dann die beiden ergebnisse?
Hallo,
ja.
LG Angela
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