Profit bei Einbruch maximieren < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | Wir haben einen Räuber der jeden Tag ein Haus ausraubt. Sein Profit bildet eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen, jede ist exponentiell verteilt mit Erwartung [mm] \bruch{1}{\lambda}. [/mm] Jede Nacht gibt es die Wahrscheinlichkeit 0<q<1 das der Dieb gefasst wird und seinen ganzen Profit zurückgeben muss. Wenn der Räuber nun die Change hat aufzuören, wann sollte er das tun, unter der Voraussetzung seinen erwarteten Profit zu maximieren? |
Nun, zunächst denke ich sollten wir das in einen formalen Kontext bringen. Ich betrachte N Zeitzustände und die Folge von Zufallsvariablen [mm] X_{1},X_{2},...,X_{N}, [/mm] wobei wir wissen das [mm] E[X_{i}]=\bruch{1}{\lambda} [/mm] für alle [mm] i\in\{1,...,N\}.
[/mm]
[mm] E[X_{1}] [/mm] wäre also der erwartete Profit nach einem Einbruch, [mm] E[X_{2}] [/mm] der erwartete Profit nach 2 Einbrüchen usw.
(1-q) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit nicht in einer Nacht gefasst zu werden.
Ich möchte also nun einen optimalen Zeitpunkt i finden, bei dem [mm] E[X_{i}]>E[X_{i+1}] [/mm] gilt unter Berücksichtigung von q, stimmt das soweit?
[mm] E[X_{i}] [/mm] soll also den maximalen erwarteten Profit repräsentieren, aber wie fahre ich nun fort? Wann soll er nun aufhören?
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> Wir haben einen Räuber der jeden Tag ein Haus ausraubt.
> Sein Profit bildet eine Folge von unabhängigen
> Zufallsvariablen, jede ist exponentiell verteilt mit
> Erwartung [mm]\bruch{1}{\lambda}.[/mm] Jede Nacht gibt es die
> Wahrscheinlichkeit 0<q<1 das der Dieb gefasst wird und
> seinen ganzen Profit zurückgeben muss. Wenn der Räuber
> nun die Change hat aufzuören, wann sollte er das tun,
> unter der Voraussetzung seinen erwarteten Profit zu
> maximieren?
> Nun, zunächst denke ich sollten wir das in einen formalen
> Kontext bringen. Ich betrachte N Zeitzustände und die
> Folge von Zufallsvariablen [mm]X_{1},X_{2},...,X_{N},[/mm] wobei wir
> wissen das [mm]E[X_{i}]=\bruch{1}{\lambda}[/mm] für alle
> [mm]i\in\{1,...,N\}.[/mm]
>
> [mm]E[X_{1}][/mm] wäre also der erwartete Profit nach einem
> Einbruch, [mm]E[X_{2}][/mm] der erwartete Profit nach 2 Einbrüchen
> usw.
>
> (1-q) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit nicht in einer
> Nacht gefasst zu werden.
> Ich möchte also nun einen optimalen Zeitpunkt i finden,
> bei dem [mm]E[X_{i}]>E[X_{i+1}][/mm] gilt unter Berücksichtigung
> von q, stimmt das soweit?
>
> [mm]E[X_{i}][/mm] soll also den maximalen erwarteten Profit
> repräsentieren, aber wie fahre ich nun fort? Wann soll er
> nun aufhören?
Hallo Lonpos,
ich habe mir dazu einen Wahrscheinlichkeitsbaum gezeichnet.
Der wird sehr einfach, falls man alle überflüssigen Zweige
entfernt. Setzt sich der Räuber tatsächlich das Ziel, den
(heutigen !) Erwartungswert der gesamten Beute vor dem
Erwischtwerden zu maximieren, dann gibt es tatsächlich nur
die eine Strategie: heute die Matheaufgabe lösen und das
optimale n berechnen und dann den Plan durchführen.
Wenn man mal von einem konkreten (vielleicht nicht optimalen)
Wert von n ausgeht, kann man leicht den zu erwartenden
Gesamtgewinn nach n Tagen berechnen. Einen Profit gibt
es ja nur genau dann, wenn alle n Einbrüche erfolgreich sind.
Der Profit, der in diesem Fall (und nur in diesem) ansteht,
ist einfach durch [mm] \lambda [/mm] und n auszudrücken.
Damit kommen wir zu einer gewissen Funktion f(n),
die den (heutigen) Erwartungswert des Gesamtgewinns
in n Tagen darstellt. Diese Funktion hängt natürlich auch
noch von den Parametern [mm] \lambda [/mm] und q (bzw. p:=1-q) ab.
So haben wir am Ende eine Optimierungsaufgabe mit der
Hauptvariablen n . Natürlich soll [mm] n\in\IN [/mm] sein (nach ange-
fangener Arbeit abgebrochene Einbruchsversuche zählen nicht ...  ),
aber für die Optimierungsaufgabe kann man natürlich
auch erst mal von einer reellen Variablen x anstelle von n
arbeiten, um sich die Errungenschaften der Analysis zunutze
zu machen.
Zuerst dachte ich: "sonderbare Aufgabe !"
Aber jetzt: "tolle Aufgabe mit dem besonderen Kick !"
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Di 22.10.2013 | | Autor: | Lonpos |
Vielan dank für deine Antwort. Entschuldige meine verspätete Meldung. Könntest du mir helfen deinen beitrag zu konkretisieren? Wie kommst du auf die explizite Darstellung der Funktion f(n) und der anschließenden Maximierung?
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> Vielen dank für deine Antwort. Entschuldige meine
> verspätete Meldung. Könntest du mir helfen deinen beitrag
> zu konkretisieren? Wie kommst du auf die explizite
> Darstellung der Funktion f(n) und der anschließenden
> Maximierung?
Hallo Lonpos,
wenn der Räuber seinen Plan durchführt, gibt es nach
n Tagen folgende zwei Möglichkeiten:
1.) der Räuber wurde irgendwann erwischt und kann
jetzt in der U-Haft nachrechnen, ob seine Kalkulation
vielleicht doch falsch war. Der Profit ist jedenfalls
gleich Null;
2.) er hatte mehr Glück und konnte seine n Einbrüche
erfolgreich durchführen, möchte mit diesem Metier
jetzt aber aufhören (falls er seinem geäußerten Plan
wirklich folgt ...). Der Erwartungswert für den Profit
aus den n gelungenen Einbrüchen ist natürlich gleich
n mal dem Erwartungswert eines einzelnen Einbruchs,
also $\ [mm] n*\frac{1}{\lambda}$ [/mm] Werteinheiten.
Da nur der zweite Fall überhaupt Profit einbringt, der
aber nur mit der Wahrscheinlichkeit [mm] p^n [/mm] eintritt, ist
der wirklich zu betrachtende Erwartungswert, welchen
wir mit f(n) bezeichnet haben:
$\ f(n)\ =\ [mm] \frac{1}{\lambda}*n*p^n$ [/mm] ( wobei $\ p\ =\ 1-q$ )
Gesucht ist die natürliche Zahl n , für welche f(n) am
größten wird. Um auch buchstäblich klar zu machen,
dass wir jetzt für die Lösung Differentialrechnung ein-
setzen wollen, die auf der Grundmenge [mm] \IN [/mm] bekanntlich
nicht so recht funktioniert , setzen wir jetzt anstelle
von n eine Variable x, die für eine reelle Zahl stehen
soll:
$\ f(x)\ =\ [mm] \frac{1}{\lambda}*x*p^x$
[/mm]
Dies ist nun die Funktion, bei der man mithilfe der
Ableitung(en) in der gewohnten Weise ein Maximum
suchen kann. An Ableitungsregeln braucht man die
Produktregel sowie die für die Ableitung einer
Exponentialfunktion.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Di 22.10.2013 | | Autor: | Lonpos |
Vielen Dank, ich habe hier ein bisschen zu kompliziert gedacht.
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> Vielen Dank, ich habe hier ein bisschen zu kompliziert
> gedacht.
Zur Kontrolle ein Beispiel:
Wenn etwa q = 0.08 ist (also 8% W'keit, bei einem
einzelnen Einbruch erwischt zu werden), komme
ich auf die Lösung [mm] n_{opt}=12 [/mm] . Um die Profiterwartung
(vor der Einbruchserie betrachtet) zu maximieren,
sollte der ehrenwerte Kerl also 12 Einbrüche planen.
Der Wert des Maximums f(12) beträgt aber nur etwa
4.4 mal den mittleren Profit eines einzelnen Einbruchs.
Diese Zahl (im Vergleich zu 12) zeigt, dass die
Räuberei doch ein ziemlich risikoreiches Geschäft ist.
LG , Al-Chw.
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