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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Do 09.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Def.:
Es sei I ein nichtleere Menge für jedes i [mm] \in [/mm] I sei [mm] X_i [/mm] ein topologischer Raum. Dann definiert das Mengensystem:
B:= [mm] \prod_{i\inI} U_i [/mm] | [mm] \exists [/mm] J [mm] \subseteq [/mm] I, J endlich: [mm] $U_i$ [/mm] offen in [mm] $X_i [/mm] $für $i [mm] \in [/mm] J, [mm] U_i [/mm] = [mm] X_i$ [/mm] für $i [mm] \not\in [/mm] J$
die Produkttopologie [mm] \tau_{prod\} [/mm] auf [mm] \prod_{i\inI} X_i.
[/mm]
Die Mengen aus B können auch mittels Urbildern unter Proektionen umgeschrieben werden, sodass wir
B= [mm] \{ \bigcap_{i \in J} \pi_j^{-1} (U_j) | J \subseteq I, J endlich, U_j offen in X_j \}
[/mm]
erhalten. |
Servus,
Ich verstehe nicht wieso, die beiden dasselbe sind!
Für jedes j [mm] \in [/mm] I haben wie die j-te Projektionsabbildung [mm] \pi_j: \prod_{i\inI} X_i [/mm] -> [mm] X_j [/mm] durch [mm] \pi_j [/mm] (x) := [mm] x_j [/mm] (=x(j)) definiert
[mm] \pi_j^{-1} (U_j) =\{ x \in \prod_{i\inI} X_i| \pi_j (x) \in U_j \} [/mm] = [mm] \{ x \in \prod_{i\inI} X_i| x_j \in U_j \} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:16 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Def.:
> Es sei I ein nichtleere Menge für jedes i [mm]\in[/mm] I sei [mm]X_i[/mm]
> ein topologischer Raum. Dann definiert das Mengensystem:
> B:= [mm]\prod_{i\inI} U_i[/mm] | [mm]\exists[/mm] J [mm]\subseteq[/mm] I, J endlich:
> [mm]U_i[/mm] offen in [mm]X_i [/mm]für [mm]i \in J, U_i = X_i[/mm] für [mm]i \not\in J[/mm]
> die Produkttopologie [mm]\tau_{prod\}[/mm] auf [mm]\prod_{i\inI} X_i.[/mm]
>
> Die Mengen aus B können auch mittels Urbildern unter
> Proektionen umgeschrieben werden, sodass wir
> B= [mm]\{ \bigcap_{i \in J} \pi_j^{-1} (U_j) | J \subseteq I, J endlich, U_j offen in X_j \}[/mm]
>
> erhalten.
Bei der zweiten Charakterisierung sollte es [mm] $J\not=\emptyset$ [/mm] heißen.
Schließlich ist ein Schnitt über alle $j$ aus der leeren Menge üblicherweise nicht definiert.
Oder man definiert ihn durch [mm] $\bigcap_{j\in \emptyset}\pi_j^{-1}(U_j):=\prod_{i\in I}X_i$.
[/mm]
> Ich verstehe nicht wieso, die beiden dasselbe sind!
>
>
> Für jedes j [mm]\in[/mm] I haben wie die j-te Projektionsabbildung
> [mm]\pi_j: \prod_{i\inI} X_i[/mm] -> [mm]X_j[/mm] durch [mm]\pi_j[/mm] (x) := [mm]x_j[/mm]
> (=x(j)) definiert
>
> [mm]\pi_j^{-1} (U_j) =\{ x \in \prod_{i\in I} X_i| \pi_j (x) \in U_j \}[/mm]
> = [mm]\{ x \in \prod_{i\in I} X_i| x_j \in U_j \}[/mm]
Also für jedes endliche [mm] $\emptyset\not=J\subseteq [/mm] I$ und [mm] $U_j$ [/mm] offen in [mm] $X_j$ [/mm] für alle [mm] $j\in [/mm] J$:
[mm] $\bigcap_{j \in J} \pi_j^{-1} (U_j)=\bigcap_{j\in J}\{ x \in \prod_{i\in I} X_i| x_j \in U_j \}=\{x\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;x_j\in U_j\text{ für alle }j\in J\}=\{x\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;x_i\in U_i\text{ für alle }i\in I\}=\prod_{i\in I}U_i$,
[/mm]
wenn man [mm] $U_i:=X_i$ [/mm] für [mm] $i\in I\setminus [/mm] J$ setzt.
Bleibt noch [mm] $\prod_{i\in I}U_i$ [/mm] zu betrachten, wenn [mm] $U_i=X_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in I\setminus [/mm] J$ mit [mm] $J=\emptyset$ [/mm] gilt.
Doch dann nehmen wir einfach ein beliebiges [mm] $i_0\in [/mm] I$ ($I$ ist ja als nichtleer vorausgesetzt) und es folgt
[mm] $\prod_{i\in I}U_i=\prod_{i\in I}X_i=\pi_{i_0}^{-1}(X_{i_0})=\bigcap_{j\in J'} \pi_j^{-1}(X_j)$
[/mm]
mit [mm] $J':=\{i_0\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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