Produktregel/Kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Geddon |
Hallo,
Kann mir jemand erklären warum ich beim differenzieren der folgenden Gleichung die Produktregel und nicht die Kettenregel verwenden muss?
x(t) = (c1 + [mm] c2*t)e^{-t}
[/mm]
gut hat zwar den Aufbau eines Produkts.. aber auch einer Kette, da ja c1 UND c2t mit [mm] e^{-t} [/mm] multipliziert wird.
Gruß
Geddon
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> Hallo,
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> Kann mir jemand erklären warum ich beim differenzieren der
> folgenden Gleichung die Produktregel und nicht die
> Kettenregel verwenden muss?
>
> x(t) = (c1 + [mm]c2*t)e^{-t}[/mm]
$x(t)=m(t)*n(t)$ mit
[mm]m(t)=c_1+c_2*t[/mm] und [mm]n(t)=e^{-t}[/mm]
Von daher kommt die Produktregel.
>
> gut hat zwar den Aufbau eines Produkts.. aber auch einer
> Kette, da ja c1 UND c2t mit [mm]e^{-t}[/mm] multipliziert wird.
Wie würde genau deine Kette aussehen?
Bei der Kettenregel hätte die Funktion folgende ja Gestalt:
x(t)=h(g(t)).
Natürlich ist die Kettenregel versteckt hier auch anzuwenden:
[mm]f(t)=e^{-t}[/mm]. Dann wäre [mm]f(t)=h(g(t))[/mm] mit [mm]h(t)=e^{t}[/mm] und [mm]g(t)=-t[/mm].
>
> Gruß
> Geddon
Gruß zurück
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Geddon |
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> > Hallo,
> >
> > Kann mir jemand erklären warum ich beim differenzieren der
> > folgenden Gleichung die Produktregel und nicht die
> > Kettenregel verwenden muss?
> >
> > x(t) = (c1 + [mm]c2*t)e^{-t}[/mm]
> [mm]x(t)=m(t)*n(t)[/mm] mit
> [mm]m(t)=c_1+c_2*t[/mm] und [mm]n(t)=e^{-t}[/mm]
> Von daher kommt die Produktregel.
> >
> > gut hat zwar den Aufbau eines Produkts.. aber auch einer
> > Kette, da ja c1 UND c2t mit [mm]e^{-t}[/mm] multipliziert wird.
> Wie würde genau deine Kette aussehen?
> Bei der Kettenregel hätte die Funktion folgende ja
> Gestalt:
> x(t)=h(g(t)).
h(t) = [mm] e^{-t}
[/mm]
g(t) = c1 + c2*t
> Natürlich ist die Kettenregel versteckt hier auch
> anzuwenden:
> [mm]f(t)=e^{-t}[/mm]. Dann wäre [mm]f(t)=h(g(t))[/mm] mit [mm]h(t)=e^{t}[/mm] und
> [mm]g(t)=-t[/mm].
> >
> > Gruß
> > Geddon
> Gruß zurück
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
>> x(t)=h(g(t)).
> h(t) = $ [mm] e^{-t} [/mm] $
> g(t) = c1 + c2*t
Ersetzen wir mal der Klarheit wegen das eine t durch ein x:
[mm] $h(x)=e^{-x}$
[/mm]
h(g(t)) ist jetzt g(t) für x eingesetzt:
[mm] $h(g(t))=e^{-g(t)}=e^{-(c_1+c_2 t)}$
[/mm]
Und Du verwendest beides:
> $ [mm] x(t)=m(t)\cdot{}n(t) [/mm] $ mit
> $ [mm] m(t)=c_1+c_2\cdot{}t [/mm] $ und $ [mm] n(t)=e^{-t} [/mm] $
Für die Ableitung von n(t) brauchst Du die Kettenregel. =)
Du verwendest fast immer mehrere der Regeln. Entscheidend für die Reihenfolge ist die Struktur der Funktion. Was ist die letzte Rechenoperation, die Du durchführst (wenn Du für [mm] $c_1$, $c_2$ [/mm] und $t$ Zahlen einsetzt - sonst können wir nicht rechnen =)
$x(3) = (1 + [mm] 2\cdot{}3)e^{-3} [/mm] $
Zuerst rechnest Du die Klammer und [mm] $e^{-3}$ [/mm] aus, dann multiplizierst Du die beiden miteinander. Letzter Schritt ist Multiplikation, also Produktregel.
- Ist die letzte Operation eine Multiplikation, dann Produktregel.
- Ist es eine Summe (od. Differenz), dann betrachtest Du die Summanden getrennt;
- ist es ein Bruch, dann die Bruchregel;
- ist es irgendwas anderes, dann die Kettenregel.
Und diese Zerlegung wiederholen wir jetzt, bis wir die Funktion in Terme zerlegt haben, deren Ableitung bekannt ist.
Mal überausführlich:
$x(t)$ ist also ein Produkt aus der Klammer und [mm] $e^{-t}$,
[/mm]
> $ [mm] x(t)=m(t)\cdot{}n(t) [/mm] $ mit
> $ [mm] m(t)=c_1+c_2\cdot{}t [/mm] $ und $ [mm] n(t)=e^{-t} [/mm] $
[mm] $m(t)=c_1+c_2t$ [/mm]
Punkt vor Strich, also ist der letzt Schritt das Summieren von [mm] $a(t)=c_1$ [/mm] und [mm] $b(t)=c_2*t$, [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Summe
[mm] $a(t)=c_1$ [/mm] hängt eigentlich gar nicht von t ab,
$a'(t)=0$,
und die Ableitung von b(t) ist einfach:
[mm] $b'(t)=c_2$
[/mm]
[mm] $n(t)=e^{-t}$, [/mm] letzter Schritt ist die Exponentialfunktion, das ist weder Multiplikation, Division noch Summe, also Kettenregel:
n(t)=c(d(t)), [mm] $c(x)=e^x$, [/mm] $d(t)=-t$ (c(x) ist einfach der letzte Schritt, den Du durchführst, d(x) alles was dem Schritt vorausging)
[mm] $c'(x)=e^x$,
[/mm]
$d'(t)=-1$
Alles zusammengesetzt:
[mm] $x'(t)=m'(t)*n(t)+m(t)*n'(t)=\left(a'(t)+b'(t)\right)*n(t)+m(t)\left(c'(d(t))d'(t)\right)=(0+c_2)e^{-t} [/mm] + [mm] (c_1+c_2t)e^{-t}(-1)$
[/mm]
> gut hat zwar den Aufbau eines Produkts.. aber auch einer Kette
Es ist eine Kette, aber
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Geddon |
Hallo,
danke für die ausführliche Erklärung.
Meine Frage ist jetzt noch:
bei y = sin(x+1) dx würde ich ja die Kettenregel anwenden mit h(x) = sin(x)
wenn ich jetzt mal sage y = z(x+1) dx mit z = sin(x) dann wär das ja das gleiche wie oben und auch ein Fall für die Kettenregel.
und y = z(x+1) dx mit z = [mm] e^{-x} [/mm] wär ja auch möglich.
Dann wäre es ja eigentlich immer noch Kettenregel wenn ich nur den Teil y = z(x+1) kenne und differenziern will.
Aber auch Produktregel z * das was in der Klammer steht.
Gruß
Geddon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Fr 28.01.2011 | | Autor: | ribu |
> Hallo,
>
> danke für die ausführliche Erklärung.
>
> Meine Frage ist jetzt noch:
> bei y = sin(x+1) dx würde ich ja die Kettenregel anwenden
> mit h(x) = sin(x)
> wenn ich jetzt mal sage y = z(x+1) dx mit z = sin(x) dann
> wär das ja das gleiche wie oben und auch ein Fall für die
> Kettenregel.
> und y = z(x+1) dx mit z = [mm]e^{-x}[/mm] wär ja auch möglich.
> Dann wäre es ja eigentlich immer noch Kettenregel wenn
> ich nur den Teil y = z(x+1) kenne und differenziern will.
> Aber auch Produktregel z * das was in der Klammer steht.
Nein, wenn du nach x ableitest, finden die Ableitungsregeln nur Anwendung, wenn in den Termen ein [mm]x[/mm] vorkommt, wie bei dem Ausdruck in der Klammer [mm](x+1)[/mm]. Das [mm]z[/mm] ist dabei nur ein Faktor und wird wie nach der Faktorregel beschrieben, behandelt.
Daher kannst du deine "Funktion" [mm]z*(x+1)[/mm] ganz einfach nach [mm]x[/mm] ableiten
> Gruß
> Geddon
MfG, Ribu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
soll das
> sin(x+1) dx
jeweils
[mm] $\frac{d}{dx} [/mm] sin(x+1)$
sein?
> Dann wäre es ja eigentlich immer noch Kettenregel wenn ich nur den Teil y = z(x+1) kenne und differenziern will.
> Aber auch Produktregel z * das was in der Klammer steht.
?
Du vermischt Funktionen und Variablen.
z(t)=sin(t)
z(t) ist eine Funktion, ausgewertet an der Stelle t.
Jetzt werten wir z an 1+x aus:
z(1+x)
Das ist was völlig anderes als ein wie auch immer geartetes z mal (1+x), was soll auch sin*(1+x) sein?
Wenn Du die Multiplikation als Funktion schreiben willst, dann sieht das so aus:
[mm] $a*b=\star(a,b)$
[/mm]
a*b ist also die Multiplikationsfunktion ausgewertet an der (zweidimensionalen) Stelle (a,b). Man könnte darauf die Kettenregel anwenden, aber dafür mußt Du das ganze dann mehrdimensional (mit dem totalen Differential) betrachten:
[mm] $a(x)*b(x)=\star(a(x),b(x))$
[/mm]
[mm] $\frac [/mm] d{dx} [mm] \star [/mm] (a(x),b(x)) = [mm] \frac{\partial}{\partial a(x)} \star(a(x),b(x)) [/mm] * [mm] \frac{d\, a(x)}{dx} [/mm] + [mm] \frac{\partial}{\partial b(x)} \star(a(x),b(x)) [/mm] * [mm] \frac{d\, b(x)}{dx} [/mm] = b(x)*a'(x)+a(x)*b'(x)$
Die Kettenregel kann man also für wirklich alles verwenden (Die Quotientenregel ist ja auch nur eine Variation der Produktregel), aber für ein paar nützliche Spezialfälle machen die anderen Regeln das Leben leichter. =)
ciao
Stefan
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