Produktmaß < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien ein beliebiger Maßraum [mm](\Omega; \mathcal{A}; \nu )[/mm] und [mm](\IN,2^\IN,\mu)[/mm] wobei [mm]\mu[/mm] das Abzählmaß auf [mm](\IN,2^\IN)[/mm] ist ([mm]\mu(A)=card(A)\forall A\subseteq \IN[/mm])
Zeigen Sie, dass
a) [mm]2^\IN \otimes \mathcal{A}=\{\bigcup_{n=1}^\infty\{n\} \times A_n\;|\; A_n\in \mathcal{A}\}[/mm]
b) Produktmaß [mm]\pi=\mu\otimes\nu[/mm] eindeutig bestimmt ist |
Ich glaube hier verletze ich die Forenregeln. Da ich keine Ahnung habe und nicht einmal einen Ansatz präsentieren kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 29.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben seien ein beliebiger Maßraum [mm](\Omega; \mathcal{A}; \nu )[/mm]
> und [mm](\IN,2^\IN,\mu)[/mm] wobei [mm]\mu[/mm] das Abzählmaß auf
> [mm](\IN,2^\IN)[/mm] ist ([mm]\mu(A)=card(A)\forall A\subseteq \IN[/mm])
>
> Zeigen Sie, dass
> a) [mm]2^\IN \otimes \mathcal{A}=\{\bigcup_{n=1}^\infty\{n\} \times A_n\;|\; A_n\in \mathcal{A}\}[/mm]
>
> b) Produktmaß [mm]\pi=\mu\otimes\nu[/mm] eindeutig bestimmt ist
> Ich glaube hier verletze ich die Forenregeln. Da ich keine
> Ahnung habe und nicht einmal einen Ansatz präsentieren
> kann.
Tipp, wie man trotzdem zu einem Ansatz kommen kann:
Definition von Maßraum aufschreiben.
Definition von [mm] $\otimes$ [/mm] von [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] aufschreiben
Definition von [mm] $\otimes$ [/mm] von Maßen aufschreiben
Versuchen die Definitionen auf die Aufgabe anzuwenden.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:44 Di 31.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich sitze auch gerade an der Aufgabe.
Könntest du es vielleicht ein bisschen ausführlicher beschreiben.
[mm]\underbrace{ 2^\IN \otimes \mathcal{A}}_{E}=\underbrace{\{\bigcup_{n=1}^\infty\{n\} \times A_n\;|\; A_n\in \mathcal{A}\} }_{F}[/mm]
zu zeigen ist:
- Mengengleichheit
also "[mm]\supseteq[/mm]":
Ich nehme mir ein [mm]B\in F[/mm] und muss zeigen [mm]B\in E[/mm]. Dann ist [mm]B=\bigcup_{n=1}^\infty \{n\}\times B_n,B_n\in \mathcal{A}[/mm]
Ich muss es ausführlich aufschreiben. Also die Vereingung ist in [mm]2^\IN[/mm] und [mm]B_n\in \mathcal{A}[/mm] Damit gilt doch schon [mm]B\in E[/mm]
andere Seite "[mm]\subseteq[/mm]"
Idee: Zeige F ist Dynkin-System und [mm]\cap[/mm]-stabil
Also [mm]\IN\times\Omega\in F[/mm], da [mm]\bigcup_{n=1}^\infty \{n\}\times \Omega=\IN\times\Omega[/mm]
Komplementstabil
Ich nehme mir wieder [mm]B\in F[/mm], also [mm]B=\bigcup_{n=1}^\infty \{n\}\times B_n[/mm] zu zeigen ist [mm]B^C\in F[/mm] also:
[mm]B^C=(\bigcup_{n=1}^\infty( \{n\}\times B_n))^C=\bigcap_{n=1}^\infty (\{n\}\times B_n)^C[/mm]
gilt?
[mm]\ldots=\bigcup_{n=1}^\infty (\{n\}\times B_n^C)[/mm]
Jetzt muss ich noch begründen, dass das auch in F liegt. Wie?
Vereinigungssystem (disjunkte)
[mm]C_1,\ldots\in F[/mm] paarweise disjunkt. z.z. [mm]\bigcup_{n=1}^\infty C_n \in F[/mm]
Ich habe
[mm]\bigcup_{n=1}^\infty C_n =\bigcup_{n=1}^\infty (\bigcup_{n=1}^\infty \{n\}\times B_n)[/mm]
über weitere Tipps wäre ich sehr erfreut, da wir alles ausführlichst begründen müssen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Di 31.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Hat sich glücklicherweise erledigt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mo 30.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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