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| Aufgabe | Gegeben ist die Inputmatrix [mm]a = \pmat{0,5 & 0,12 & 0,2\\
0,4 & 0,5 & 0,1\\
0 & 0,2 & 0,2}[/mm]
Durch die Einführung neuer Produktionstechniken ändern sich die Koeffizienten [mm]a_{12}[/mm] und [mm]a_{22}[/mm] der Inputmatrix A. Das Verhältnis der Produktion der Unternehmen W1, W2 und W3 beträgt dann [mm]x_{1} : x_{2} : x_{3}[/mm] = 5:6:2.
Die Nachfrage [mm]y = \pmat{75 & 70 & 20}^T[/mm] wird erwartet.
Ermitteln Sie die neue Inputmatrix und die Produktion der drei Unternehmen. |
Ich habe die Gleichung [mm](E-A) * x = y[/mm] aufgestellt, daraus drei Gleichungen geformt und diese entsprechend aufgelöst. Leider nicht ganz erfolgreich:
[mm](E-A) * x = y[/mm] entspricht [mm]\pmat{0,5 & -a_{12} & -0,2\\
-0,4 & 1-a_{22} & -0,1\\
0 & -0,2 & 0,8} * \vektor{5x_{1} \\
6x_{1} \\
2x_{1}} = \vektor{75 \\
70 \\
20}[/mm]
Bei (E-A) habe ich an den in der Aufgabenstellung angebenen stellen die Koeffizienten 0,12 und 0,5 durch Variablen gesetzt.
Die daraus resultierenden Gleichungen:
1. [mm]2,5x_{1} - a_{12}(6x_{1}) - 0,4x_{1} = 75[/mm]
2. [mm]-2x_{1} + (1 - a_{22}(6x_{1})) - 0,2x_{1} = 70[/mm]
3. [mm]-1,2x_{1} + 1,6x_{1} = 20[/mm]
Aus der 3. kann man direkt [mm]x_{1}[/mm] ermitteln: [mm]x_{1} = 50[/mm]
Mit diesem Wissen habe ich mich dann an die 1. Gleichung gewagt:
[mm]2,1*50 - 300a_{12} = 75[/mm]
[mm]- 300a_{12} = -30[/mm]
[mm]a_{12} = 0,1[/mm]
Und dann ging's an Gleichung Nummer 2:
[mm]-2,2*50 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]
[mm]-110 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]
[mm]1-300a_{22} = 180[/mm]
[mm]-300a_{22} = 179[/mm]
Und hier wird ziemlich offensichtlich, dass da etwas nicht passt: Der neue Koeffizient für [mm]a_{22}[/mm] kann nicht negativ sein.
Wo liegt mein Fehler? Ist evtl. schon der Ansatz falsch?
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Hallo Apfelchips,
> Gegeben ist die Inputmatrix [mm]a = \pmat{0,5 & 0,12 & 0,2\\
0,4 & 0,5 & 0,1\\
0 & 0,2 & 0,2}[/mm]
>
> Durch die Einführung neuer Produktionstechniken ändern
> sich die Koeffizienten [mm]a_{12}[/mm] und [mm]a_{22}[/mm] der Inputmatrix A.
> Das Verhältnis der Produktion der Unternehmen W1, W2 und
> W3 beträgt dann [mm]x_{1} : x_{2} : x_{3}[/mm] = 5:6:2.
> Die Nachfrage [mm]y = \pmat{75 & 70 & 20}^T[/mm] wird erwartet.
>
> Ermitteln Sie die neue Inputmatrix und die Produktion der
> drei Unternehmen.
>
>
>
> Ich habe die Gleichung [mm](E-A) * x = y[/mm] aufgestellt, daraus
> drei Gleichungen geformt und diese entsprechend aufgelöst.
> Leider nicht ganz erfolgreich:
>
> [mm](E-A) * x = y[/mm] entspricht [mm]\pmat{0,5 & -a_{12} & -0,2\\
-0,4 & 1-a_{22} & -0,1\\
0 & -0,2 & 0,8} * \vektor{5x_{1} \\
6x_{1} \\
2x_{1}} = \vektor{75 \\
70 \\
20}[/mm]
>
> Bei (E-A) habe ich an den in der Aufgabenstellung angebenen
> stellen die Koeffizienten 0,12 und 0,5 durch Variablen
> gesetzt.
>
> Die daraus resultierenden Gleichungen:
>
> 1. [mm]2,5x_{1} - a_{12}(6x_{1}) - 0,4x_{1} = 75[/mm]
>
> 2. [mm]-2x_{1} + (1 - a_{22}(6x_{1})) - 0,2x_{1} = 70[/mm]
>
Die Gleichung muss doch so lauten:
[mm]-2x_{1} + \left(1 - a_{22}\right\blue{)}6x_{1} - 0,2x_{1} = 70[/mm]
Dann bekommst Du ein positives [mm]a_{22}[/mm].
> 3. [mm]-1,2x_{1} + 1,6x_{1} = 20[/mm]
>
>
> Aus der 3. kann man direkt [mm]x_{1}[/mm] ermitteln: [mm]x_{1} = 50[/mm]
>
>
> Mit diesem Wissen habe ich mich dann an die 1. Gleichung
> gewagt:
>
> [mm]2,1*50 - 300a_{12} = 75[/mm]
>
> [mm]- 300a_{12} = -30[/mm]
>
> [mm]a_{12} = 0,1[/mm]
>
>
> Und dann ging's an Gleichung Nummer 2:
>
> [mm]-2,2*50 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]
>
> [mm]-110 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]
>
> [mm]1-300a_{22} = 180[/mm]
>
> [mm]-300a_{22} = 179[/mm]
>
>
> Und hier wird ziemlich offensichtlich, dass da etwas nicht
> passt: Der neue Koeffizient für [mm]a_{22}[/mm] kann nicht negativ
> sein.
>
> Wo liegt mein Fehler? Ist evtl. schon der Ansatz falsch?
>
Der Ansatz ist richtig.
Gruss
MathePower
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Super, ich danke Dir. Ein Flüchtigkeitsfehler …
[mm]a_{22}[/mm] ist somit 0,4 und damit lautet die vollständige Lösung für die Aufgabe:
[mm]A = \pmat{0,5 & \green{0,1} & 0,2\\
0,4 & \green{0,4} & 0,1\\
0 & 0,2 & 0,2}[/mm]
[mm]x = \vektor{250 \\
300 \\
100}[/mm]
Alles richtig (oder?)
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Hallo Apfelchips,
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> Super, ich danke Dir. Ein Flüchtigkeitsfehler …
>
> [mm]a_{22}[/mm] ist somit 0,4 und damit lautet die vollständige
> Lösung für die Aufgabe:
>
> [mm]A = \pmat{0,5 & \green{0,1} & 0,2\\
0,4 & \green{0,4} & 0,1\\
0 & 0,2 & 0,2}[/mm]
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> [mm]x = \vektor{250 \\
300 \\
100}[/mm]
>
> Alles richtig (oder?)
Ja, alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 So 11.03.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Alles klar.
Nochmals besten Dank für Deine Hilfe!
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