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Produktintregration: Komme nicht weiter...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Di 12.04.2005
Autor: andreas99

Hi,

[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x^3-2x+1}{x+1} dx} [/mm]

Irgendwie rechne ich da jetzt schon ewig dran rum, aber es führt zu nix. Als Methode hab ich die Produktintegration genommen. Problem ist halt immer zu "vermuten" was man als u(x) und was man als v'(x) nimmt. Lernt man wirklich nur durch Erfahrung abzuschätzen welches man nimmt oder gibt es da Anhaltspunkte dafür? Bei mir ist das immer ein 50/50 Spiel. Wenn ich falsch wähle, dann kostet das eben ewig Zeit in der Klausur. :-(

[mm] $u(x)=x^3-2x+1$ [/mm]
[mm] $u'(x)=3x^2-2$ [/mm]
[mm] $v'(x)=\bruch{1}{x+1}$ [/mm]
$v(x)=ln(x+1)$

Ich hab jetzt keine Lust die ganzen (falschen) Rechenwege abzutippen. Es gelingt mir einfach nicht das Integral aufzulösen. Es entsteht immer irgendwie ein Produkt in dem Restintegral der Produktintegration. Darin ist dann immer ein ln(), welches ich nicht weg bekomme. Selbst wenn ich diesen Teil dann nochmal integriere entsteht wieder ein ähnlicher Ausdruck. Wenn ich u(x) und v'(x) anders wähle, bekomme ich auch kein Ergebnis. Dort entsteht dann rechts immer ein ähnliches Restintegral wie das Ausgangsintegral.

Ich hab das Integral im Maxima berechnen lassen, es kommt ein schönes Ergebnis raus. Zudem hat die Aufgabe nicht mal so viele Punkte in der Klausur. Müsste also ohne große Umwege zu berechnen sein. Kann mir einer auf die Sprünge helfen?

Gruß
Andreas

        
Bezug
Produktintregration: Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Di 12.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Andreas!


Bei gebrochenrationalen Funktionen ist im allgemeinen die Produktintegration der falsche Weg.


Wenn der Zählergrad größer-gleich ist als der Nennergrad (wie in unserem Fall), mußt Du zunächst eine MBPolynomdivision durchführen.

Dabei entsteht dann (im allgemeinen) ein ganzrationaler Anteil und ein gebrochenrationaler Rest-Term.

Dadurch haben wir dann eine Darstellung der zu integrierenden Funktion, von der sich ziemlich leicht die Stammfunktion ermitteln läßt.


Führe doch mal eine entsprechende Polynomdivision "Zähler : Nenner" durch und teile uns Dein Ergebnis mit ...


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Produktintregration: Ahhh!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Di 12.04.2005
Autor: andreas99

Hi Loddar,

> Führe doch mal eine entsprechende Polynomdivision "Zähler :
> Nenner" durch und teile uns Dein Ergebnis mit ...

[mm] $x^3-2x+1:(x+1)=x^2-x-1+\bruch{2}{x+1}$ [/mm]

[mm] $\integral_{}^{} {x^2-x-1+\bruch{2}{x+1} dx}=\bruch{2x^3-3x^2-6x+12*ln(x+1)}{6}+C$ [/mm]

Es ist eigentlich ganz einfach gewesen, man musste nur mal auf die Polynomendivision kommen. Das werde ich mir auf jeden Fall gut merken.

Wie ist das eigentlich? Kommt man mit der falschen Integrationsmethode nur schwer und langwierig, oder niemals ans Ziel? Gleiche Frage gilt auch für falsch gewähltes u(x) und v'(x) bei der Produktintegration.

Gruß und Danke
Andreas

Bezug
                        
Bezug
Produktintregration: Stammfunktion richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Di 12.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Andreas!



> [mm]x^3-2x+1:(x+1)=x^2-x-1+\bruch{2}{x+1}[/mm]

Achtung: Bitte etwas sauberer aufschreiben:

[mm]\red{(}x^3-2x+1\red{)}:(x+1)=x^2-x-1+\bruch{2}{x+1}[/mm]

Rechnung / Ergebnis : ok [ok] !


  

> [mm]\integral_{}^{} {x^2-x-1+\bruch{2}{x+1} dx}=\bruch{2x^3-3x^2-6x+12*ln(x+1)}{6}+C[/mm]

[ok] Aber warum schreibst Du das als so großen Bruch? Es reicht doch:

[mm]\integral_{}^{} {x^2-x-1+\bruch{2}{x+1} dx} \ = \ \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2 - x + 2*\ln(x+1)+C[/mm]



> Wie ist das eigentlich? Kommt man mit der falschen
> Integrationsmethode nur schwer und langwierig, oder niemals
> ans Ziel? Gleiche Frage gilt auch für falsch gewähltes u(x)
> und v'(x) bei der Produktintegration.

Eine pauschale Aussage kann man hier nicht treffen. Es gibt durchaus Integrale, die man auf mehrere Wege lösen kann.

Der "Normalfall" ist aber schon, daß es nur einen Weg gibt, weil man sonst doch in irgendwelchen Sackgassen landet ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Produktintregration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 Di 12.04.2005
Autor: andreas99


> Achtung: Bitte etwas sauberer aufschreiben:
>  
> [mm]\red{(}x^3-2x+1\red{)}:(x+1)=x^2-x-1+\bruch{2}{x+1}[/mm]
>  
> Rechnung / Ergebnis : ok [ok] !

Oh ja, du hast recht. Ist unbewusst passiert. Werde ich drauf achten in Zukunft.

> > [mm]\integral_{}^{} {x^2-x-1+\bruch{2}{x+1} dx}=\bruch{2x^3-3x^2-6x+12*ln(x+1)}{6}+C[/mm]
>  
> [ok] Aber warum schreibst Du das als so großen Bruch? Es
> reicht doch:
>  
> [mm]\integral_{}^{} {x^2-x-1+\bruch{2}{x+1} dx} \ = \ \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2 - x + 2*\ln(x+1)+C[/mm]

Das Ergebnis von dir hatte ich auch einen Schritt vorher, aber hab es nochmal umgeformt. Frag mich nicht warum. Ich hatte das Ergebnis von Maxima als Ziel vor Augen und hab es darum vermutlich automatisch in diese Form gebracht.

Gruß
Andreas

Bezug
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