Produktformel für Untergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Nagelfar |
| Aufgabe | Es seien U,V [mm] \le [/mm] G Untergruppen der Gruppe [mm] (G,\*).
[/mm]
a) Zeige, dass durch (u,v) [mm] \sim [/mm] (u',v') [mm] \gdw [/mm] u [mm] \* [/mm] v = u' [mm] \* [/mm] v' eine Äquivalenzrelation auf der Menge U [mm] \times [/mm] V definiert wird.
b) Zeige, dass die Äquivalenzklasse von (u,v) [mm] \in [/mm] U [mm] \times [/mm] V die Gestalt [mm] \overline{(u,v)} [/mm] = { (u [mm] \* y,y^{-1} \* [/mm] v) | y [mm] \n [/mm] U [mm] \cap [/mm] V} besitzt und die Mächtigkeit |U [mm] \cap [/mm] v| hat.
c) Beweise. Wenn U und V endlich sind, so gilt die Produktformel |U [mm] \* [/mm] V| = [mm] |U|\*|V|/|U \cap [/mm] V| |
Hey,
diese Aufgabe bereitet mir einiges Kopfzerbrechen. Im Grunde weiß ich wie sie lösen ist, aber die Beweiswege...
Also Teilaufgabe a) ist leicht. Aufgabe b) auch bis auf das Zeigen der Mächtigkeit. Wenn ich die Klasse zu [mm] \overline{(e,e)} [/mm] (neutrales Element) betrachte, sieht man leicht, dass die Mächtigkeit gleich |U [mm] \cap [/mm] V|. Wie ich das aber allgemein zeige, da hänge ich.
Zur c): Da |U [mm] \times [/mm] V| = |U| [mm] \* [/mm] |V| und |U [mm] \times [/mm] V| = [mm] \bigcup_{\overline{(u,v)}}^{\cdot} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{|U \* V|} |\overline{(u,v)_{i}}| [/mm] = |U [mm] \* [/mm] V||U [mm] \cap [/mm] V|.
Passt das so?
Für eure Hilfe schon mal Danke!
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Nagelfar |
zu b) - Mächtigkeit: Man könnte natürlich eine Abbildung [mm] \alpha [/mm] : N [mm] \to [/mm] U [mm] \cap [/mm] V : (uy, [mm] y^{-1}v) \mapsto [/mm] y definieren - mit N = { [mm] (u\*y,y^{-1}\*v) [/mm] | y [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V}. Wohldefiniertheit zeigen, und dann die Bijektivität. Würde das Funktionieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Mi 21.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> zu b) - Mächtigkeit: Man könnte natürlich eine Abbildung
> [mm]\alpha[/mm] : N [mm]\to[/mm] U [mm]\cap[/mm] V : (uy, [mm]y^{-1}v) \mapsto[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y
> definieren - mit N = { [mm](u\*y,y^{-1}\*v)[/mm] | y [mm]\in[/mm] U [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V}.
> Wohldefiniertheit zeigen, und dann die Bijektivität.
Mach's einfacher: definiere eine Abbildung $U \cap V \to N$ durch $y \mapsto (u y, y^{-1} v)$ und zeige, dass diese bijektiv ist. Damit ersparst du dir etwas Arbeit :)
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 21.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien U,V [mm]\le[/mm] G Untergruppen der Gruppe [mm](G,\*).[/mm]
> a) Zeige, dass durch (u,v) [mm]\sim[/mm] (u',v') [mm]\gdw[/mm] u [mm]\*[/mm] v = u'
> [mm]\*[/mm] v' eine Äquivalenzrelation auf der Menge U [mm]\times[/mm] V
> definiert wird.
> b) Zeige, dass die Äquivalenzklasse von (u,v) [mm]\in[/mm] U
> [mm]\times[/mm] V die Gestalt [mm]\overline{(u,v)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { (u [mm]\* y,y^{-1} \*[/mm]
> v) | y [mm]\n[/mm] U [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V} besitzt und die Mächtigkeit |U [mm]\cap[/mm] v|
> hat.
> c) Beweise. Wenn U und V endlich sind, so gilt die
> Produktformel |U [mm]\*[/mm] V| = [mm]|U|\*|V|/|U \cap[/mm] V|
>
> Hey,
> diese Aufgabe bereitet mir einiges Kopfzerbrechen. Im
> Grunde weiß ich wie sie lösen ist, aber die
> Beweiswege...
> Also Teilaufgabe a) ist leicht. Aufgabe b) auch bis auf
> das Zeigen der Mächtigkeit. Wenn ich die Klasse zu
> [mm]\overline{(e,e)}[/mm] (neutrales Element) betrachte, sieht man
> leicht, dass die Mächtigkeit gleich |U [mm]\cap[/mm] V|. Wie ich
> das aber allgemein zeige, da hänge ich.
Die richtige Idee hattest du ja schon in der Mitteilung, und wie man es noch etwas besser macht hatte ich dazu schon geschrieben.
> Zur c): Da |U [mm]\times[/mm] V| = |U| [mm]\*[/mm] |V| und |U [mm]\times[/mm] V| =
> [mm]\bigcup_{\overline{(u,v)}}^{\cdot}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{|U \* V|} |\overline{(u,v)_{i}}|[/mm]
> = |U [mm]\*[/mm] V||U [mm]\cap[/mm] V|.
> Passt das so?
Ja.
Die Notation ist da oben noch etwas kaputt, gerade beim "[mm]\bigcup_{\overline{(u,v)}}^{\cdot}[/mm]", aber ich vermute das ist beim Abtippen passiert...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Nagelfar |
Hi Felix.
Vielen Dank für deine Antwort und den Verbesserungsvorschlag!
Jipp, die Notation ist echt kaputt! Da hab' ich beim Abtippen irgendwie gepennt.. ;)
Grüße Manu
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