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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Di 02.01.2007 | | Autor: | Gina_123 |
| Aufgabe | Aufgabenstellung:
Es sei K ein Körper und es seinen n e N, Ae K^nxn mit [mm] A^3=0. [/mm] Für alle m eN mit m>=3 und alle t e K berechne man [mm] (tI+A)^m [/mm] mit Hilfe vollständiger Induktion nach m.
(sorry, das mit den Sonderzeichen klappt noch nicht so wirklich...)
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Ok, zunächst mal der obligatorische Ersti-Satz:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt zu meinen Ansätzen:
I ist Einheitsmatrix, daher [mm] I^m=I, [/mm] I^(m+1)=I
[mm] A^3=0, [/mm] da m>=3 gilt: A^(m+1)=0
Ich habe also
(tI+A)^(m+1) = [mm] (tI+A)^m [/mm] * (tI+A)
= [mm] t(tI+A)^m [/mm] + tA + [mm] A^2
[/mm]
oder darf ich nicht ausklammern (zumindest den Teil ohne Exponenten)?
Wie komme ich auf ein angemessenes Ergebnis?
Danke euch jetzt schon mal,
Gina
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Kennst du den Großen Binomischen Lehrsatz:
[mm](a+b)^m = \sum_{k=0}^m~{m \choose k} \, a^k b^{m-k}[/mm]
Er gilt in Ringen mit Einselement, solange die Ringelemente [mm]a,b[/mm] miteinander kommutieren: [mm]ab = ba[/mm]. Im Matrizenring kommutiert aber die vervielfachte Einheitsmatrix [mm]tI[/mm] mit jeder anderen. So kannst du erst einmal eine "angemessene" Formel gewinnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 02.01.2007 | | Autor: | Gina_123 |
Aber jetzt erhalte ich wieder m Summanden, nur dass die jetzt alle unterschiedlich sind...
für [mm] (tI+A)^{m}=\summe_{k=0}^{m}\vektor{m\\ k}t^{k}A{m-k}
[/mm]
und für [mm] (tI+A)^{m+1}=
[/mm]
[mm] t(\summe_{k=0}^{m}\vektor{m\\ k}t^{k}A{m-k})+A(\summe_{k=0}^{m}\vektor{m\\ k}t^{k}A{m-k})
[/mm]
Aber wie komme ich nun weiter?
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Vertausche die Rolle der Summanden. Dann wird es übersichtlicher: [mm](A+tI)^m[/mm].
Und beachte, daß [mm]A^k = 0[/mm] ist für [mm]k \geq 3[/mm]. Es bleibt also nur ein quadratisches Polynom in [mm]A[/mm] übrig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 02.01.2007 | | Autor: | Gina_123 |
Ok, dann müsste ich folgendes erhalten:
[mm] \summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}t^{k}A^{m-k} [/mm] =
[mm] \summe_{k=m-2}^{m}\vektor{m \\ k}t^{k}A^{m-k} [/mm] =
[mm] t^{m}I+\vektor{m \\ m-1}t^{m-1}A+\vektor{m \\ m-2}t^{m-2}A^{2}
[/mm]
, denn eine beliebige Matrix hoch 0 ist eine Einheitsmatrix, oder?
Wenn ich das jetzt in die Formel von eben einsetze, dann komme ich
[mm] t(t^{m}I+\vektor{m \\ m-1}t^{m-1}A+\vektor{m \\ m-2}t^{m-2}A^{2})+A(t^{m}I+\vektor{m \\ m-1}t^{m-1}A+\vektor{m \\ m-2}t^{m-2}A^{2}).
[/mm]
Das sieht komplizierter aus als vorher, aber ist im Falle einer ernsthaften Rechnung immerhin schon weniger Arbeit...
Kann ich das ganze nicht noch weiter vereinfachen, evtl. mit Transformationsmatrix?
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[mm]{m \choose {m-1}} = {m \choose 1} = m \, , \ \ {m \choose {m-2}} = {m \choose 2} = \frac{m(m-1)}{2}[/mm]
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