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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}, [/mm] a [mm] \in \IR \backslash\{1\} [/mm] : [mm] \produkt_{i=0}^{n} [/mm] (1 + [mm] a^{{2}^{i}}) [/mm] = [mm] \bruch{1 - a^{{2}^{n+1}}}{1 - a} [/mm] |
Also ich habe schon einiges versucht. Hier meine Ausführungen.
[mm] \{3 \* 5 \* 17 \* 65 \* ... \*(1 + a^{{2}^{n}})\} [/mm] = [mm] \bruch{1 - a^{{2}^{n+1}}}{1 - a}
[/mm]
für a = 2
Induktionsstart A(0)
[mm] \bruch{1 - 2^{{2}^{0+1}}}{1 - 2} [/mm] = 3
Dann der Induktionsschritt n = 1 + n
[mm] \{3 \* 5 \* 17 \* 65 \* ... \* (1 + a^{{2}^{n}}) \* (1 + a^{{2}^{n+1}})\} [/mm] = [mm] \bruch{1 - a^{{2}^{n+2}}}{1 - a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1 - a^{{2}^{n+2}}}{1 - a} [/mm] = [mm] \bruch{1 - a^{{2}^{n+1}}}{1 - a} \* [/mm] (1 + [mm] a^{{2}^{n+1}})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 - [mm] a^{{2}^{n+2}} [/mm] = (1 - [mm] a^{{2}^{n+1}}) \* [/mm] (1 + [mm] a^{{2}^{n+1}})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 - [mm] a^{{2}^{n+2}} [/mm] = [mm] 1^{2} [/mm] - [mm] a^{{2}^{{n+1}^{2}}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 - [mm] a^{2n + 4} [/mm] = 1 - [mm] a^{4n + 4}
[/mm]
Also irgendwie muss der Fehler schon beim Induktionsschritt n+1 liegen, weil wenn ich die daraus entstehende Gleichung mit meinetwegen n = 2 berechne, ist das ergebnis ungleich. Aber was hab ich denn falsch gemacht :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 So 24.10.2010 | | Autor: | moody |
schau mal hier
lg moody
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 So 24.10.2010 | | Autor: | Mammutbaum |
Danke.
Ja, da war ich wohl wirklich trottelig ;)
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