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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 13.06.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige: [mm] $\forall p\in \mathbb{P}_{>2} [/mm] $: [mm] $1^23^25^2\ldots (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} [/mm] (p) $ |
Mein Problem:
Ich komme mit diesem Beispiel leider nur insofern zurecht, dass ich die Aussage in konkreten Beispiel nachvollziehen kann, jedoch Probleme habe, ein allgemeines dahintersteckendes Gerüst zu erkennen.
Das Problem scheint mir nichtelementar zu sein. Ich habe schon etliche, in der Vorlesung gelernte Sätze anzuwendenden probiert, es funktioniert aber leider nicht.
Meine letzte Hoffnung: Glaubt ihr, dass man das quadratische Reziprozitätsgesetz hier anwenden kann?
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Hallo clemenum,
ich sehe nur einen Weg.
> Man zeige: [mm]\forall p\in \mathbb{P}_{>2} [/mm]: [mm]1^23^25^2\ldots (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (p) [/mm]
>
> Mein Problem:
> Ich komme mit diesem Beispiel leider nur insofern zurecht,
> dass ich die Aussage in konkreten Beispiel nachvollziehen
> kann, jedoch Probleme habe, ein allgemeines
> dahintersteckendes Gerüst zu erkennen.
>
> Das Problem scheint mir nichtelementar zu sein. Ich habe
> schon etliche, in der Vorlesung gelernte Sätze
> anzuwendenden probiert, es funktioniert aber leider nicht.
Es ist m.E. in der Tat alles andere als elementar.
Mit dem Satz von Wilson (der von Lagrange bewiesen wurde) ist es aber zu zeigen. Hattet ihr den? Ich sehe nicht, wie es hier ohne ihn anders zu zeigen wäre.
Satz von Wilson:
p ist genau dann eine Primzahl, wenn [mm] (p-1)!\equiv -1\mod{p}
[/mm]
Es gilt daher auch [mm] (p-2)!\equiv 1\mod{p}
[/mm]
Bis auf eine etwaige Vorzeichenkorrektur ist das von Dir zu untersuchende Produkt aber im Prinzip das gleiche wie (p-1)!, denn [mm] (p-1)!=1*(p-1)*2*(p-2)*3*(p-3)*\cdots=(-1^2)*(-3^2)*\cdots*(-(p-2)^2)
[/mm]
Fragt sich eben nur, wieviele Faktoren das nun sind... 
Grüße
reverend
PS:
> Meine letzte Hoffnung: Glaubt ihr, dass man das
> quadratische Reziprozitätsgesetz hier anwenden kann?
Ich denke nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 14.06.2011 | | Autor: | clemenum |
Liebe Mathematiker!
Ich hätte eine Frage an euch zu diesem Beispiel, und zwar:
Ich denke ein Gegenbeispiel gefunden zu haben, so ist etwa:
[mm] $(1\cdot 3\cdot 5\cdot 9\cdot 11\cdot 15)^2 [/mm] + 1$ nicht durch $p$, also nicht durch 17 teilbar, wie man am Computer sofort sieht.
Frage: Habe ich die Angabe falsch aufgefasst?
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Hallo clemenum,
> Ich hätte eine Frage an euch zu diesem Beispiel, und
> zwar:
> Ich denke ein Gegenbeispiel gefunden zu haben, so ist
> etwa:
> [mm](1\cdot 3\cdot 5\cdot 9\cdot 11\cdot 15)^2 + 1[/mm] nicht durch
> [mm]p[/mm], also nicht durch 17 teilbar, wie man am Computer sofort
> sieht.
Dazu brauchst Du einen Computer?
Probier mal die Primzahl p=812460721139, die wäre auch ein wunderbares Gegenbeispiel. Wenn ich ein Produkt (diesmal dann etwas länger) aufschreibe, in dem alle Faktoren kleiner sind als p, dann ist es nicht durch p teilbar (da p prim ist, was per definitionem...).
> Frage: Habe ich die Angabe falsch aufgefasst?
Ja. Die Aufgabe behauptet (für Dein Beispiel):
[mm] (1*3*5*\blue{7}*9*11*\blue{13}*15)^2\equiv(-1)^{9}\equiv -1\mod{17}
[/mm]
Und das stimmt.
Für meine (deutlich größere) Primzahl behauptet die Aufgabe, dass die entsprechende Restklasse [mm] \blue{+1} [/mm] ist. Das stimmt auch. Und das sollst Du beweisen, denn vermutlich kann kein Dir zur Verfügung stehender Rechner ordentlich mit so großen Zahlen umgehen.
Grüße
reverend
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kann es sein dass du diese aufgabe vom professor auzinger bekommen hast ? :)
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