Produkt reeller Matrizen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gesucht ist das Produkt zweier reeller 2x2 Matrizen
[mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\*\pmat{ b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }
[/mm]
Gegeben ist der folgende Algorithmus:
[mm] p_1=(a_{12} -a_{22})*(b_{21}+b_{22})
[/mm]
[mm] p_2=(a_{11} +a_{22})*(b_{11}+b_{22})
[/mm]
[mm] p_3=(a_{11} -a_{21})*(b_{11}+b_{12})
[/mm]
[mm] p_4=(a_{11} +a_{12})*(b_{22})
[/mm]
[mm] p_5=a_{11}*(b_{12}-b_{22})
[/mm]
[mm] p_6=a_{22}*(b_{21}-b_{11})
[/mm]
[mm] p_7=(a_{21} [/mm] + [mm] b_{22})*b_{11}
[/mm]
[mm] c_{11}= p_1+p_2-p_4+p_6
[/mm]
[mm] c_{12}= p_4+p_5
[/mm]
[mm] c_{21}= p_6+p_7
[/mm]
[mm] c_{22}= p_2-p_3+p_5-p_7
[/mm]
i) Rechnen sie nach, das der gegebene Algorithmus tatsächlich das Produkt obiger Matrizen liefert.
|
Meine Frage ist nun, wie rechnet man das nach?? Wie stellt man so eine Berechnung an?
|
|
| |
|
Eigentlich brauchst Du nur zu verifizieren, ob der Algorithmus die Ergebnisse liefert, wie sie die gängige Definition der Matrizenmultiplikation liefert.
Mehr ![[]](/images/popup.gif) hier
Überleg Dir anhand dessen mal, wie sich das Ergebnis der Multiplikation zweier 2x2-Matrizen A, B bestimmt. Dann musst Du nur noch nachsehen, ob der Algorithmus die gleichen Ergebnisse erzeugt.
|
|
|
| |
|
Könnt ihr mir vielleicht die Formel sagen, bzw. Definition, wie man das produkt der Matrizen berechnet? aber durch c ist doch die Produktmatrix agegeben oder?
|
|
|
| |
|
Ja, c ist die Produktmatrix. Und die Definition der Matrizenmultiplikation steht im Link hinter dem Wort "hier" in meiner ersten Reaktion.
|
|
|
| |
|
verstehe ich aber trotzdem nicht, wie das gemeint ist. und was ich mit was multiplizieren soll.....
|
|
|
| |
|
Für die Matrizenmultiplikation c=a*b gilt:
das Element [mm] c_{ij} [/mm] in der Ergebnismatrize berechnet sich aus dem Skalarprodukt des Zeilenvektors aller [mm] a_{ik} [/mm] und des Spaltenvektors aller [mm] b_{lj} [/mm] mit k,l als Laufvariablen.
Bei Deinen 2x2-Matrizen heißt das:
[mm] c_{11}=a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}
[/mm]
[mm] c_{12}=a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}
[/mm]
[mm] c_{21}=a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}
[/mm]
[mm] c_{22}=a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22}
[/mm]
oder, in der Matrix dargestellt:
[mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} }=\pmat{ a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} }
[/mm]
Jetzt musst Du nur noch schauen, ob Dein Algorithmus das gleiche Ergebnis liefert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 04.11.2008 | | Autor: | strange_w |
also würde meine Lösung dann quasi so aussehen, die ich dahin schreiben muss?
http://de.wikipedia.org/wiki/Strassen-Algorithmus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 04.11.2008 | | Autor: | reverend |
aussehen ja, aber bei Strassen geht es um etwas anderes, nämlich Numerik. Der Algorithmus Deiner Aufgabenstellung behauptet ja, das algebraisch genaue Ergebnis zu liefern, nur eben auf anderem Weg als dem üblichen. Du müsstest allgemein ermitteln (unter Ansatz beliebiger [mm] a_{ij}, b_{mn}), [/mm] dass alle Elemente [mm] c_{st} [/mm] der Lösungsmatrix tatsächlich der Multiplikationsregel entsprechen.
Dazu bleibt Dir nicht viel anderes übrig, als die Schritte des Algorithmus mit entsprechenden Variablen (also nicht mit Beispielwerten!) durchzurechnen, bis das Verfahren an sein Ende gekommen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 05.11.2008 | | Autor: | strange_w |
kannst du mir den Anfang vorrechnen? sorry, aber ich weiß echt nicht wie es geht..
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Wieviele elementare arithmetische Operationen benötigt die naive Matrixmultiplikation ("Zeile mal Spalte") für die Multiplikation zweier [mm] (2^k [/mm] x [mm] 2^k)-Matrizen?
[/mm]
Finden sie -z.B. mit Hilfe eines Taschenrechners- heraus, welche Größenordnung die Matrizen haben müssen, damit der Strassen-Algorithmus tatsächlich weniger elementare operationen benötigt. |
elementare arithmetische Operationen:
8 Multiplikationen und 4 Additionen , 7 Multiplikationen und 18 Additionen
stimmt das?
Muss ich das wenn dann zeigen. ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Sa 08.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
