Produkt konvergenter Reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine absolut konvergente und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} [/mm] eine konvergente Reihe komplexer Zahlen. Für n [mm] \in \IN_{0} [/mm] sei [mm] c_{n}:=\summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n} [/mm] konvergiert, und dass gilt:
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty} a_{n})*(\summe_{n=0}^{\infty} b_{n})=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n} [/mm] |
Hi,
ich komme mit obiger Aufgabe nicht zurecht. Wie kann ich die Konvergenz zeigen? Wenn ich das Produkt ausmultipliziere, ordne ich im Prinzip die Summe um, was ich allerdings erst machen darf, wenn die absolute Konvergenz gezeigt ist.
Ich wäre für einen Ansatz dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mi 23.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]A=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] [mm] A_{N}=\summe_{n=0}^{N} a_{n}[/mm] eine absolut konvergente
und [mm] B= \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} [/mm] [mm] B_{N}=\summe_{n=0}^{N} b_{n}[/mm] eine konvergente Reihe
[mm]c_{n}:=\summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}.[/mm]
[mm]S_{N}=\summe_{n=0}^{N} c_{n}[/mm]
zeige [mm] S_{N} [/mm] ist konvergent
(*) A.B = [mm] (A-A_{N})B+\summe_{n=0}^{N}a_{n}*B
[/mm]
(**) [mm] S_{N}=\summe_{n=0}^{N}a_{n}*B_{N-n}
[/mm]
(*) - (**) ergibt
(***) AB - [mm] S_{N}=(A-A_{N})*B [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{N}a_{n}*(B-B_{N-n})
[/mm]
der erste Teil der Summe geht gegen 0
K= größte ganze Zahl [mm] \le \bruch{N}{2}
[/mm]
(****) [mm] \summe_{n=0}^{N}a_{n}*(B-B_{N-n}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{K}a_{n}*(B-B_{N-n})+\summe_{n=K+1}^{N}a_{n}*(B-B_{N-n})
[/mm]
der erste Teil
[mm] \summe_{n=0}^{K}a_{n}*(B-B_{N-n}) \le \summe_{n=0}^{K}|a_{n}|*|(B-B_{N-n})| \le max_{K \le n \le N}|B-B_{n}|* \summe_{n=0}^{K}|a_{n}| [/mm] wegen konvergenz von [mm] B_{n} [/mm] und abs. Konv von [mm] A_{n} [/mm] ist das ein Produkt einer Nullfolge mit einem beschränkten Ausdruck also eine Nullfolge...
Beim zweiten Summanden in (****) macht man das umgekehrt, wegen konv. von [mm] B_{n} [/mm] ist [mm] |B-B_{N-n}| [/mm] beschränkt also [mm] \le [/mm] C
[mm] \summe_{n=K+1}^{N}a_{n}*(B-B_{N-n}) \le \summe_{n=K+1}^{N}|a_{n}|*|B-B_{N-n}| \le[/mm] [mm]C* \summe_{n=\bruch{N}{2}}^{N}|a_{n}| [/mm]
die Summe muss wegen Konvergenz eine Nullfolge sein (=Cauchy Kriterium).. daher
muss (***) eine Nullfolge sein q.e.d
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Mi 23.05.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
danke für die schnelle Antwort. Sehr schöner Beweis.
Grüße,
BertanARG
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