Produkt irreduzibler Polynome < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo. Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.
Gegeben sei das Polynom [mm] p(x):=x^{3}-x^{2}-x-2
[/mm]
Dieses Polynom soll als Produkt irreduzibler Polynome geschrieben werden.
K[x] sei nun [mm] \IZ_{2}
[/mm]
Also [mm] \IZ={0,1}. [/mm] Ich setze beides ein und erhalte:
x=0: p(x)= 0, also ist x=0 Nullstelle
x=1: p(x)=3, also ist x=1 keine Nullstelle
Aber wie fahre ich jetzt fort? Danke vielmals. Gruß
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Hallo SolRakt,
> Hallo. Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.
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> Gegeben sei das Polynom [mm]p(x):=x^{3}-x^{2}-x-2[/mm]
>
> Dieses Polynom soll als Produkt irreduzibler Polynome
> geschrieben werden.
>
> K[x] sei nun [mm]\IZ_{2}[/mm]
>
> Also [mm]\IZ={0,1}.[/mm] Ich setze beides ein und erhalte:
>
> x=0: p(x)= 0, also ist x=0 Nullstelle ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> x=1: p(x)=3, also ist x=1 keine Nullstelle
Und [mm]3\equiv 1 \ \operatorname{mod}(2)[/mm]
>
> Aber wie fahre ich jetzt fort?
Schreibe das Polynom mal mod(2) um (also die Koeffizienten):
Dann bekommst du [mm]x^3-x^2-x-2 \ \equiv \ x^3+x^2+x \ \operatorname{mod}(2)[/mm]
Da kannst du x ausklammern ...
Das verbleibende Restpolynom hat in [mm]\IZ_2[/mm] keine Nullstelle(n), ist also irreduzibel.
Damit hast du doch deine Zerlegung gefunden ...
> Danke vielmals. Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr. :)
Ähm, was würde ich denn machen, wenn ich nicht sofort das irreduzible Polynom gefunden hätte.
Für [mm] \IZ_{3} [/mm] wäre die Funktion ja dann [mm] x^{3}+x^{2}+x+1
[/mm]
Die Nullstelle wäre ja x=2. Und jetzt?
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Hallo nochmal,
> Danke sehr. :)
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> Ähm, was würde ich denn machen, wenn ich nicht sofort das
> irreduzible Polynom gefunden hätte.
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> Für [mm]\IZ_{3}[/mm] wäre die Funktion ja dann [mm]x^{3}+x^{2}+x+1[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist $-1 \ [mm] \equiv [/mm] \ 2 \ [mm] \operatorname{mod}(3)$
[/mm]
Also [mm] $p(x)=x^3+2x^2+2x+1$
[/mm]
Eine NST ist $x=1$
>
> Die Nullstelle wäre ja x=2.
Stimmt trotz des falschen Polynoms 
> Und jetzt?
Polynomdivision ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke nochmal ;)
Ähm, also sind jetzt x=1 und x=2 Nullstellen. In Linearfaktoren wäre das ja (x-1) und (x-2).
Bei der Polynomdivision stellt sich mir jedoch schon eine Frage.
Muss ich jetzt die Polynomdivision mit einem Linearfaktor machen oder kann ich auch (x-1)(x-2) zusammenrechnen und dann Polynomdivision mit diesem Term machen?
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Hallo nochmal,
> Danke nochmal ;)
>
> Ähm, also sind jetzt x=1 und x=2 Nullstellen. In
> Linearfaktoren wäre das ja (x-1) und (x-2).
mod 3 entspricht das dann den Linearfaktoren [mm](x+2)[/mm] und [mm](x+1)[/mm]
>
> Bei der Polynomdivision stellt sich mir jedoch schon eine
> Frage.
>
> Muss ich jetzt die Polynomdivision mit einem Linearfaktor
> machen oder kann ich auch (x-1)(x-2) zusammenrechnen und
> dann Polynomdivision mit diesem Term machen?
Du kannst das erst zusammenrechnen, das spart Arbeit.
Du kannst auch zuerst "normal" rechnen und dann mod 3 zusammenfassen ...
Mache doch einfach mal beide Wege, kann ja nicht viel passieren außer dass du dich verrechnest.
Weh tut's jedenfalls nicht
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Oh man, dieses mod 3 macht mich noch fertig xD
Ich hab jetzt mal mehreres gerechnet:
[mm] (x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x+2)=x^{2}+2
[/mm]
[mm] (x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x+1)=x^{2}+x+4
[/mm]
Bin mir grad ziemlich unsicher. Vor allem beim Zweiten. Kann das bitte mal jemand nachkontrollieren.
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Hallo nochmal,
> Oh man, dieses mod 3 macht mich noch fertig xD
>
> Ich hab jetzt mal mehreres gerechnet:
>
> [mm](x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x+2)=x^{2}+2[/mm]
>
> [mm](x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x+1)=x^{2}+x+4[/mm]
Ja, also mod3 dann [mm] $x^2+x+1$
[/mm]
>
> Bin mir grad ziemlich unsicher. Vor allem beim Zweiten.
> Kann das bitte mal jemand nachkontrollieren.
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Sry, aber muss nochmal eine Frage stellen, damit ich sicher gehn kann, dass ich das richtig verstehe ;)
[mm] (x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x+1)=x^{2}+x+4
[/mm]
- [mm] (x^{3}+x^{2})
[/mm]
-----------------------------
[mm] x^{2}
[/mm]
[mm] -(x^{2}+x)
[/mm]
------------------------------
4x
-(4x+4)
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Aber wie bringe ich -4 in mod3 umgeschrieben oder hab ich da was falsch gemacht? Eigentlich müsste ja dann doch noch ein Restterm stehen bleiben??? Danke. Bin grad nur was verwirrt.
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Hallo nochmal,
> Sry, aber muss nochmal eine Frage stellen, damit ich sicher
> gehn kann, dass ich das richtig verstehe ;)
>
> [mm](x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x+1)=x^{2}+x+4[/mm]
>
> - [mm](x^{3}+x^{2})[/mm]
>
> -----------------------------
>
> [mm]x^{2}[/mm]
Hier holst du doch nun die 2x von oben runter
>
> [mm]-(x^{2}+x)[/mm]
>
> ------------------------------
>
> 4x
Hier dann $2x-x=x$
Und die 1 runterholen, bleibt $x+1$ und da geht der Divisor $x+1$ dann 1mal rein.
In deiner Version musst du zu dem 4x nun die 1 runterholen
$4x+1$ , da geht x+1 4mal rein
______
4x+4
Bleibt 0 wegen [mm] $4\equiv 1\operatorname{mod}(3)$
[/mm]
>
> -(4x+4)
[mm] $4x+4\equiv [/mm] x+1$ !!
>
> -------------------------------
>
> Aber wie bringe ich -4 in mod3 umgeschrieben oder hab ich
> da was falsch gemacht? Eigentlich müsste ja dann doch noch
> ein Restterm stehen bleiben??? Danke. Bin grad nur was
> verwirrt.
Es bleibt kein Restterm.
Mache vllt. einfacher die ganze Rechnung so, als ob du in [mm] $\IZ$ [/mm] rumrechnest.
Dann am Ende alles [mm] $\operatorname{mod}(3)$
[/mm]
Wenn du das ein paar Male durchgerechnet hast bzgl. verschiedener Moduli dann klappt das auch besser und ohne Verwirrung
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke nochmal. :)
Hab das jetzt mal versucht, folgendes auszurechnen (ich versuch das mal mit dem Modulo in der Polyn.d., weil wir das so direkt in der Arbeit machen sollen. leider :(, glaub ich )
Also, es gilt ja [mm] (x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2 [/mm] Also: [mm] x^{2}+2 [/mm] (wegen [mm] \IZ_{3})
[/mm]
Und nun:
[mm] (x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x^{2}+2)= [/mm] x + 2
[mm] -(x^{3}+2x)
[/mm]
--------------------------
[mm] 2x^{2}
[/mm]
[mm] -(2x^{2}+4) [/mm] //aber 4 ist ja wegen [mm] \IZ_{3} [/mm] wieder 1
--------------------------
-1+1=0
Geht das so? Und was mache ich jetzt mit dem x+2???
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Hallo nochmal,
> Danke nochmal. :)
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> Hab das jetzt mal versucht, folgendes auszurechnen (ich
> versuch das mal mit dem Modulo in der Polyn.d., weil wir
> das so direkt in der Arbeit machen sollen. leider :(, glaub
> ich )
>
> Also, es gilt ja [mm](x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2[/mm] Also: [mm]x^{2}+2[/mm] (wegen
> [mm]\IZ_{3})[/mm]
>
> Und nun:
>
> [mm](x^{3}+2x^{2}+2x+1):(x^{2}+2)=[/mm] x + 2
>
> [mm]-(x^{3}+2x)[/mm]
>
> --------------------------
>
> [mm]2x^{2}[/mm]
>
> [mm]-(2x^{2}+4)[/mm] //aber 4 ist ja wegen [mm]\IZ_{3}[/mm] wieder 1
>
> --------------------------
>
> -1+1=0
>
> Geht das so?
Ja, sehr schön so!
> Und was mache ich jetzt mit dem x+2???
Na, nun hast du doch deine Zerlegung in [mm] $\IZ_3$
[/mm]
$p(x)=(x+1)(x+2)(x+2)$, wobei der letzte Faktor das Ergebnis deiner PD ist.
Also [mm] $p(x)=(x+1)(x+2)^2$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Vielen Dank. Hast mir wirklich sehr geholfen. :) Aber eine Frage hab ich trotzdem noch xD
Wenn ich bei der PD jetzt [mm] x^{2} [/mm] +1 rausbekommen hätte, also keinen Linearfaktor. Hätte ich dann wieder Nullstellen suchen müssen und erneut PD machen müssen?
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Hallo SolRakt,
> Vielen Dank. Hast mir wirklich sehr geholfen. :) Aber eine
> Frage hab ich trotzdem noch xD
>
> Wenn ich bei der PD jetzt [mm]x^{2}[/mm] +1 rausbekommen hätte,
> also keinen Linearfaktor. Hätte ich dann wieder
> Nullstellen suchen müssen und erneut PD machen müssen?
Jo, so hättest du es doch auch intuitiv zu Beginn gemacht.
Eine NST durch Probieren geraten, dann PD und bei dem verbleibenden quadratischen Polynom erneut durch Probieren eine NST erraten usw.
Hier hatten wir uns nur einen Schritt gespart, da wir direkt die 2 NSTen [mm]x=1,2[/mm] erraten haben und dann direkt die PD mit dem Produkt der beiden Linearfaktoren als Divisor [mm](x-1)(x-2)[/mm], resp. [mm]x^2+2[/mm] in [mm]\IZ_3[/mm], gemacht haben ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ah verstehe :) Vielen Dank nochmal. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo nochmal xD
Nur als Beispiel. Einmal muss ich es ja komplett richtig lösen ;)
[mm] q:=x^{3}+x^{2}-37x+35
[/mm]
in [mm] \IZ_{2} [/mm] gilt:
[mm] q:=x^{3}+x^{2}+x+1
[/mm]
Nun ist (durch Einsetzen und mod2) x=1 die Nullstelle, also der LF (x-1)
Durch PD ergibt sich [mm] x^{2}+1. [/mm] Also schreibe ich das jetzt so(?):
[mm] q=(x+1)(x^{2}+1)
[/mm]
Sry aber es wäre echt nett, wenn das jemand kontrollieren könnte. Danke schonmal. Gruß
EDIT: Bevor ich das nochmal extra frage, lieber hier. Wie bringe ich -37 bei [mm] \IZ_{3} [/mm] umgewandelt. Das - irritiert mich irgendwie. Danke vielmals.
[%sig%
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Hallo,
> Hallo nochmal xD
>
> Nur als Beispiel. Einmal muss ich es ja komplett richtig
> lösen ;)
>
> [mm]q:=x^{3}+x^{2}-37x+35[/mm]
>
> in [mm]\IZ_{2}[/mm] gilt:
>
> [mm]q:=x^{3}+x^{2}+x+1[/mm]
>
> Nun ist (durch Einsetzen und mod2) x=1 die Nullstelle, also
> der LF (x-1)
>
> Durch PD ergibt sich [mm]x^{2}+1.[/mm] Also schreibe ich das jetzt
> so(?):
>
> [mm]q=(x+1)(x^{2}+1)[/mm]
Jo, soweit der erste Schritt, aber q ist noch nicht vollst. als Produkt irreduz. Polynome geschríeben. [mm] $x^2+1$ [/mm] lässt sich noch zerlegen ...
>
> Sry aber es wäre echt nett, wenn das jemand kontrollieren
> könnte. Danke schonmal. Gruß
>
> EDIT: Bevor ich das nochmal extra frage, lieber hier. Wie
> bringe ich -37 bei [mm]\IZ_{3}[/mm] umgewandelt. Das - irritiert
> mich irgendwie.
Addiere sukzessive 3 hinzu, bis du bei einer Zahl [mm] $\in\{0,1,2\}$ [/mm] landest ...
Die Kongruenzrelation solltest du aber wirklich kennen!
> Danke vielmals.
> [%sig%
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke :)
Aber um ehrlich zu sein, kannte ich diese Relation nicht.
Jetzt wäre doch wieder x=1 Nullstelle, also wieder PD. Da kommt dann wieder x+1 raus.
Also folgt:
q(x)=(x+1)(x+1)(x+1)
So richtig?
Ich versuchs jetzt auch mal für [mm] \IZ_{3}. [/mm] xD
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Hallo SolRakt,
> Danke :)
>
> Aber um ehrlich zu sein, kannte ich diese Relation nicht.
Hmmm
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> Jetzt wäre doch wieder x=1 Nullstelle, also wieder PD. Da
> kommt dann wieder x+1 raus.
>
> Also folgt:
>
> q(x)=(x+1)(x+1)(x+1)
>
> So richtig?
Jo, passt!
> Ich versuchs jetzt auch mal für [mm]\IZ_{3}.[/mm] xD
Du kannst ja mal zur Übung alle in [mm]\IZ_2[/mm] bzw. [mm]\IZ_3[/mm] irreduziblen Polynome vom Grad [mm]\le 3[/mm] bestimmen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, jetzt mal für [mm] \IZ_{3}
[/mm]
Wäre dann [mm] q(x)=x^{3}+x^{2}+2x+2 [/mm] (?)
Dann wären x=1 und x=2 NS.
Zusammengerechnen der LF ergibt [mm] x^{2}+2
[/mm]
Mit PD folgt: x+1
Also: [mm] q(x)=(x+2)(x+1)^{2}
[/mm]
> Du kannst ja mal zur Übung alle in $ [mm] \IZ_2 [/mm] $ bzw. $ [mm] \IZ_3 [/mm] $ irreduziblen > Polynome vom Grad $ [mm] \le [/mm] 3 $ bestimmen ...
Würde ich gerne versuchen xD Müsste ich das dann ganz allgemein machen? xD
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ich komme irgendwie immer auf x+1
Ich habs wie folgt gemacht:
[mm] (x^{3}+x^{2}+2x+2):(x^{2}+2)=x+1
[/mm]
[mm] -(x^{3}+2x)
[/mm]
---------------------------------
[mm] x^{2}
[/mm]
[mm] -(x^{2}+2)
[/mm]
---------------------------------
1+2
=0
Wo ist denn der Fehler?
> Und dann durchtesten ...
Dann darf ich aber bestimmte Zahlen wählen? Also gibt es da recht viele Kombinationen???
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Hallo nochmal,
> Hmm..ich komme irgendwie immer auf x+1
Zurecht!
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> Ich habs wie folgt gemacht:
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> [mm](x^{3}+x^{2}+2x+2):(x^{2}+2)=x+1[/mm]
>
> [mm]-(x^{3}+2x)[/mm]
>
> ---------------------------------
>
> [mm]x^{2}[/mm]
>
> [mm]-(x^{2}+2)[/mm]
>
> ---------------------------------
>
> 1+2
> =0
>
> Wo ist denn der Fehler?
Nirgendwo, der lag bei mir, ich hatte ein Quadrat verhuddelt ...
>
> > Und dann durchtesten ...
>
> Dann darf ich aber bestimmte Zahlen wählen? Also gibt es
> da recht viele Kombinationen???
Naja, soviele sind es ja nicht.
Des insofern leicht, als dass für Polynome vom Grad 2 oder 3 irreduzibel gleichbedeutend mit "hat keine NST" ist ...
Gruß
schachuzipus
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