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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Do 21.02.2013 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | | Werten Sie das Produkt [mm] \produkt_{k=1}^{n}2*3^{k} [/mm] aus. |
Hallo Zusammen
Ich bin mir nicht sicher was genau mit Produkt auswerten gemeint ist. Folgendes habe ich bisher gemacht:
Eine Produktbildung kann als Summation geschrieben werden:
[mm] log(\produkt_{k=1}^{n}2*3^{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}log(2*3^{k})
[/mm]
Nun habe ich die Summe umgeformt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}log(2*3^{k}) [/mm] => [mm] \summe_{k=1}^{n}(log(2) [/mm] + [mm] log(3^{k})) [/mm] => n*log(2) + [mm] \summe_{k=1}^{n}(log(3^{k})) [/mm] => n*log(2) + [mm] \summe_{k=1}^{n}(k*log(3)) [/mm] => n*log(2) + [mm] log(3)*\summe_{k=1}^{n}(k)
[/mm]
Ich weiss nun nicht mehr wie weiter und ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin. muss ich jetzt die Summe [mm] \summe_{k=1}^{n}(k) [/mm] als [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] aufschreiben und dann noch ein bisschen umformen?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruss Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 21.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, genau. Mit "ein bisschen umformen" meinst du wohl, dass das Logarithmieren noch durch Anwenden der Exponentialfunktion rückgängig gemacht werden muss.
Übrigens: Warum schreibst du ständig Implikationspfeile => an Stellen, an denen das Gleichheitszeichen = stehen sollte ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Do 21.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Vielen Dank für deine Antwort! hmm. ja ich war mir nicht sicher ob ich ein Gleichheitszeichen schreiben darf und habe deshalb einfach mit dem Pfeil, meinen nächsten Schritt zu zeigen. Danke für die Korrektur.
Ich weiss nun leider nicht wie ich weiter umformen muss:
n*log(2) + [mm] log(3)*\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2n*log(2) + n*log(3)*(n+1)}{2}
[/mm]
Wie muss ich nun weiterfahren?
Danke und Gruss
Franhu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Do 21.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
du hast doch jetzt den Logarithmus des Produktes aus der Aufgabenstellung bestimmt. Um nun das Produkt selber zu erhalten, musst du [mm] e^{\mbox{dein letzter Term}} [/mm] berechnen (vorausgesetzt es waren Logarithmen zur Basis e). Das kann dann mit Hilfe von Potenz- und Logarithmengesetzen noch so umgeformt werden, dass kein e oder ln mehr auftauchen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Do 21.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Vielen Dank!
Gruss Franhu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 26.02.2013 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Werte das Produkt aus:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}2*3^{k} [/mm] |
Hallo Zusammen
Ich bin seit einiger Zeit daran ein Produkt auszuwerten doch komme nun einfach nicht mehr weiter.
Kann mir jemand zeigen, wie ich hier den Logarithmus entfernen kann?
[mm] 2*ln(2)*ln(3)*\summe_{k=1}^{n}k
[/mm]
Vielen Dank und Gruss
Franhu
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Hallo Franhu,
da stimmt etwas nicht.
> Werte das Produkt aus:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}2*3^{k}[/mm]
Was heißt denn hier "auswerten"?
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(2*3^k)=2^n*3^{\bruch{n(n+1)}{2}}
[/mm]
Sowas?
> Hallo Zusammen
>
> Ich bin seit einiger Zeit daran ein Produkt auszuwerten
> doch komme nun einfach nicht mehr weiter.
>
> Kann mir jemand zeigen, wie ich hier den Logarithmus
> entfernen kann?
>
> [mm]2*ln(2)*ln(3)*\summe_{k=1}^{n}k[/mm]
Diese Darstellung hat mit der Aufgabe nichts mehr zu tun.
Wenn Du das Produkt logarithmierst, bekommst Du doch
[mm] \ln{\left(\produkt_{k=1}^{n}(2*3^k)\right)}=\summe_{k=1}^{n}(\ln{2}+k*\ln{3})=\summe_{k=1}^{n}\ln{2}\;\;+\;\;\ln{3}*\summe_{k=1}^{n}k=n*\ln{2}+\ln{3}*\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Wenn Du darauf jetzt die Exponentialfunktion anwendest, dann bekommst Du genau das, was ich schon oben geschrieben habe.
Grüße
reverend
> Vielen Dank und Gruss
>
> Franhu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 26.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ja genau ich meinte eigentlich sowas, bzw. ich war mir nicht sicher, weil einfach in der Aufgabe steht, Werten Sie das Produkt aus...
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(2\cdot{}3^k)=2^n\cdot{}3^{\bruch{n(n+1)}{2}}
[/mm]
Muss ich das jetzt noch vereinfachen?
ich hatte Probleme mit der Anwendung der Exponetialfunktion. Ich wusste nicht mehr, wie ich die anwenden muss, jetzt ist es mir aber wieder klar!
Danke
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Hallo nochmal,
> Ja genau ich meinte eigentlich sowas, bzw. ich war mir
> nicht sicher, weil einfach in der Aufgabe steht, Werten Sie
> das Produkt aus...
Das ist ja wie gesagt auch eine etwas blöde Formulierung.
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(2\cdot{}3^k)=2^n\cdot{}3^{\bruch{n(n+1)}{2}}[/mm]
>
> Muss ich das jetzt noch vereinfachen?
Man kann das anders schreiben, aber so ist es wohl am übersichtlichsten.
Variante: [mm] (2*\wurzel{3^{n+1}})^n [/mm] etc.
> ich hatte Probleme mit der Anwendung der
> Exponetialfunktion. Ich wusste nicht mehr, wie ich die
> anwenden muss, jetzt ist es mir aber wieder klar!
Gut so.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Di 26.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich dachte, dass wir das in dieser Diskussion schon geklärt hätten.
Was ist denn noch unklar ?
Gruß Sax.
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