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| Aufgabe | Der Wert des folgenden Ausdrucks soll berechnet werden:
[mm] $\left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( \operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right) \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right|$ [/mm] |
Hallo,
ehrlich gesagt habe ich keine wirkliche Vorstellung davon, wie ich diese Aufgabe berechnen kann (ein furchteinflößendes Konstrukt da oben...).
Ich denke mal, dass ich von innen nach außen rechnen muss, also ist zunächst [mm] $\operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)$ [/mm] abzuarbeiten.
[mm] $\left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1=-\bruch{1-k}{1+k}-1$ [/mm] also $x<0$ und gemäß [mm] $\operatorname{sgn}(x):=\begin{cases} +1 & \; x>0 \\\;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\\end{cases}$ [/mm] erhalte ich [mm] $\operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)=-1.$
[/mm]
Zwischenstand:
$ [mm] \left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( -1 \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right| [/mm] $
Für [mm] $(-1)^{k}$ [/mm] gilt ja [mm] $(-1)^{k}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Falls das bisher überhaupt richtig ist, hier meine Frage:
Wie kann ich die Fallunterscheidung in meine weitere Berechnung "einbauen"?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
das stimmt noch was nicht, aber vor allem bist Du offenbar von dem großen Formelgedöns unnötig eingeschüchtert. Das ist doch alles nur eine mathematische Drohgebärde...
> Der Wert des folgenden Ausdrucks soll berechnet werden:
>
> [mm]\left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( \operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right) \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right|[/mm]
>
> Hallo,
>
> ehrlich gesagt habe ich keine wirkliche Vorstellung davon,
> wie ich diese Aufgabe berechnen kann (ein
> furchteinflößendes Konstrukt da oben...).
>
> Ich denke mal, dass ich von innen nach außen rechnen muss,
Gute Idee, allerdings lohnt sich auch noch, einen Blick auf die Anweisung "bilde das Produkt von" zu werfen. Es wird also nur drei Faktoren geben, nämlich mit k=1, k=2 und k=3.
Da lohnt es sich kaum, Regeln zu entwerfen...
> also ist zunächst [mm]\operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)[/mm]
> abzuarbeiten.
>
> [mm]\left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1=-\bruch{1-k}{1+k}-1[/mm]
Das stimmt hier zwar, geht aber ohne weitere Begründung nicht durch.
> also [mm]x<0[/mm]
Auch dafür bräuchte es noch eine weitere Begründung, obwohl es richtig ist.
> und gemäß [mm]\operatorname{sgn}(x):=\begin{cases} +1 & \; x>0 \\
\;\;\,0 & \; x=0 \\
-1 & \; x<0 \\
\end{cases}[/mm]
> erhalte ich [mm]\operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)=-1.[/mm]
Das wirst Du erhalten, wenn Du die beiden Schritte oben erklärt hast.
> Zwischenstand:
>
> [mm]\left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( -1 \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right|[/mm]
Ja, so wird es sein.
> Für [mm](-1)^{k}[/mm] gilt ja [mm](-1)^{k}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\
-1, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Falls das bisher überhaupt richtig ist, hier meine Frage:
> Wie kann ich die Fallunterscheidung in meine weitere
> Berechnung "einbauen"?
Na, ab hier schreibt man wohl am besten das Produkt aus:
[mm] \cdots=(3+0^2)(3-(-1)^2)(3+(-2)^2)=3*2*7
[/mm]
Ah, ich habs. Die Aufgabe stammt von einem Douglas Adams-Fan.
Schöne Grüße an den Aufgabensteller. Ich suche noch einen Babelfisch.
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
Grüße
reverend
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| Aufgabe | Der Wert des folgenden Ausdrucks soll berechnet werden:
[mm] $\left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( \operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right) \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right|$ [/mm] |
Vielen Dank, reverend.
Nochmals, aber ausführlicher, mit der Bitte um Korrektur:
Betrachte zunächst [mm] $\operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{1-k}{1+k}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k=1 \\ -1/3, & \mbox{für } k=2 \\ -1/2, & \mbox{für } k=3 \end{cases}$ [/mm] also [mm] $\left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1=\underbrace {-\bruch{1-k}{1+k}-1}_{x}=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k=1 \\ -2/3, & \mbox{für } k=2 \\ -1/2, & \mbox{für } k=3 \end{cases}$ [/mm] also $x < 0$
Gemäß $ [mm] \operatorname{sgn}(x):=\begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases} [/mm] $ erhalte ich $ [mm] \operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)=-1. [/mm] $
[mm] $\left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( -1 \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right|=$
[/mm]
[mm] $=\left|(3-(-1)^{1}(1-1)^{2})*(3-(-1)^{2}(1-2)^{2})*(3-(-1)^{3}(1-3)^{2})\right|=$
[/mm]
[mm] $=\left|3*2*7\right|=$
[/mm]
[mm] $=\left|42\right|=42$
[/mm]
> Ah, ich habs. Die Aufgabe stammt von einem Douglas
> Adams-Fan.
> Schöne Grüße an den Aufgabensteller. Ich suche noch
> einen Babelfisch.
Zugegeben: ich musste danach "googeln", aber: mein Kompliment für den witzigen Schluss! ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Der Wert des folgenden Ausdrucks soll berechnet werden:
>
> [mm]\left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( \operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right) \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right|[/mm]
>
> Vielen Dank, reverend.
>
> Nochmals, aber ausführlicher, mit der Bitte um Korrektur:
>
> Betrachte zunächst [mm]\operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-k}{1+k}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k=1 \\
-1/3, & \mbox{für } k=2 \\
-1/2, & \mbox{für } k=3 \end{cases}[/mm]
> also [mm]\left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1=\underbrace {-\bruch{1-k}{1+k}-1}_{x}=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k=1 \\
-2/3, & \mbox{für } k=2 \\
-1/2, & \mbox{für } k=3 \end{cases}[/mm]
> also [mm]x < 0[/mm]
>
> Gemäß [mm]\operatorname{sgn}(x):=\begin{cases} +1 & \; x>0 \\
\;\;\,0 & \; x=0 \\
-1 & \; x<0 \\
\end{cases}[/mm]
> erhalte ich [mm]\operatorname{sgn}\left( \left|\bruch{1-k}{1+k}\right|-1 \right)=-1.[/mm] für $k=1,2,3$
>
> [mm]\left|\produkt_{k=1}^{3}\left( 3-\left( -1 \right)^{k}(1-k)^{2} \right)\right|=[/mm]
>
> [mm]=\left|(3-(-1)^{1}(1-1)^{2})*(3-(-1)^{2}(1-2)^{2})*(3-(-1)^{3}(1-3)^{2})\right|=[/mm]
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> [mm]=\left|3*2*7\right|=[/mm]
>
> [mm]=\left|42\right|=42[/mm]
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> > Ah, ich habs. Die Aufgabe stammt von einem Douglas
> > Adams-Fan.
> > Schöne Grüße an den Aufgabensteller. Ich suche noch
> > einen Babelfisch.
>
> Zugegeben: ich musste danach "googeln", aber: mein
> Kompliment für den witzigen Schluss!
>
> Vielen Dank
> &
> Gruß
>
> el_grecco
LG
schachuzipus
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