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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:13 So 11.09.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, vielleicht könnt ihr mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen?
Es seien [mm]E_i, i\in\left\{1,2,\hdots\right\}[/mm] abzählbare Mengen und [mm]\Omega=\prod_{i\geq 1}E_i[/mm]. Es bezeichne [mm]X_i: \Omega\to E_i[/mm] die Projektion auf die i-te Koordinate.
Zeige:
Das System
[mm]\mathcal{G}=\left\{\left\{X_1=x_1,\hdots, X_k=x_k\right\}: k\geq 1, x_i\in E_i\right\}\cup\left\{\emptyset\right\}[/mm]
ist ein [mm]\cap-\operatorname{stabiler}[/mm] Erzeuger der Produkt-sigma-Algebra [mm]\bigotimes_{i\geq 1}\mathcal{P}(E_i)[/mm]. |
Ich bin ehrlich gesagt total ohne Idee. Wie zeigt man denn, dass eine Menge ein Erzeuger ist? Ich kenne das nur so, dass man bereits eine Menge kennt, die Erzeuger ist und dann zeigt man, dass die Erzeugnisse der beiden Mengen identisch sind.
Im Buch "Stochastik" von Georgii lese ich Folgendes auf Seite 12:
Zitat:
"Sei [mm]\Omega[/mm] ein kartesisches Produkt von Mengen [mm]E_i[/mm], d.h. [mm]\Omega=\prod_{i\in I}E_i[/mm] für eine Indexmenge [mm]I\neq\emptyset[/mm]. Sei [mm]\mathcal{E}_i[/mm] eine sigma-Algebra auf [mm]E_i[/mm], [mm]X_i: \Omega\to E_i[/mm] die Projektion auf die i-te Koordinate, und [mm]\mathcal{H}=\left\{X_i^{-1}A_i: i\in I, A_i\in\mathcal{E}_i\right\}[/mm] das System aller Mengen in [mm]\Omega[/mm], die durch ein Ereignis in einer einzelnen Koordinate bestimmt sind. Dann heißt [mm]\bigotimes_{i\in I}\mathcal{E}_i:=\sigma(\mathcal{H})[/mm] die Produkt-sigma-Algebra der [mm]\mathcal{E}_i[/mm] auf [mm]\Omega[/mm]."
Für meine Aufgabe bedeutet das [mm]\mathcal{E}_i=\mathcal{P}(E_i)[/mm].
Da steht also, dass [mm]\mathcal{H}[/mm] Erzeuger ist. Da kommt mir folgende Idee:
Vielleicht muss ich zeigen, dass
[mm]\sigma(\mathcal{G})=\sigma(\mathcal{H})[/mm], wobei man bei [mm]\mathcal{H}[/mm] wie gesagt für [mm]\mathcal{E}_i[/mm] bei dieser Aufgabe [mm]\mathcal{P}(E_i)[/mm] hat?
Wer kann mir dabei bitte helfen?
Liebe Grüße
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 So 11.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Vorausgesetzt, dass ich tatsächlich [mm]\sigma(\mathcal{H})=\sigma(\mathcal{G})[/mm] zeigen muss, reicht es meines Wissens aus zu zeigen:
1. [mm]\mathcal{H}\subseteq \mathcal{G}[/mm]
2. [mm]\mathcal{H}\supseteq \mathcal{G}[/mm]
beziehungsweise würde - glaube ich - auch gehen zu zeigen:
1. [mm]\mathcal{H}\subseteq \sigma(\mathcal{G})[/mm]
2. [mm]\sigma(\mathcal{H})\supseteq \mathcal{G}[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:33 So 11.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich würde dann jetzt meinen, dass man mit den Infos aus der letzten Mitteilung zeigen kann:
I. [mm]\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G}[/mm], denn
[mm]A_i\subseteq E_i[/mm].
II. [mm]\mathcal{G}\subseteq\mathcal{H}[/mm], denn
[mm]\mathcal{G}\backslash\left\{\emptyset\right\}\subseteq \mathcal{H}[/mm], da [mm]E_i\subseteq \mathcal{P}(E_i)[/mm] und [mm]\emptyset\subseteq \sigma(\mathcal{H})[/mm].
Kann man das so machen?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 13.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Unter der Annahme, dass [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] die Bildung der Potenzmenge bezeichnet gilt:
Die [mm] Produkt-$\sigma$-Algebra [/mm] ist definitionsgemäß initial zu den Projektionen, d.h. [mm] $\{X_i \in T\}, [/mm] i [mm] \in \IN, [/mm] T [mm] \subseteq E_i$ [/mm] bilden (hier) einen Erzeuger. Da die Faktoren des Produkts abzählbare Räume sind, liegt [mm] $\{X_i \in T\}=\bigcup_{s \in E_1 \times \dots \times E_{i-1}} \bigcup_{t \in T} \{X_1 =s_1, ..., X_{i-1}=s_{i-1},X_i = t\}$ [/mm] stets in der von [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] erzeugten [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] Umgekehrt besteht [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] offensichtlich nur aus [mm] $\otimes$-meßbaren [/mm] Mengen, kann also keine echt größere [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] erzeugen.
[mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ist nach Konstruktion [mm] $\cap$-stabil.
[/mm]
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