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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 25.04.2008 | | Autor: | MrCoffee |
| Aufgabe | Definition
Gegeben [mm] (\lambda_{i},F_{i}), [/mm] i [mm] \in \IN, \lambda_{i}Ergebnismenge, F_{i} [/mm] sigma-algebra auf [mm] \lambda_{i}.
[/mm]
Die von den messbaren Zylindern
[mm] A_{1}\times.......\times A_{n} \times \lambda_{n+1} \times \lambda_{n+2}..............
[/mm]
(mit [mm] A_{i} \in F_{i}) [/mm] erzeugte sigma-Algebra heißt Produkt-sigma-Algebra |
Hallo,
mein Problem ist ich finde keinen Zugang zu dieser Definition (insbesondere anschaulich). 1. Kann ich mit dem Zylinder Begriff hier gar nichts anfangen. 2 Verstehe ich nicht warum einzel Ereignisse mit den elementaren Ergebnismengen gekreuzt werden. 3. Verstehe ich nicht warum es in dem Kreuzprodukt die Reihenfolge erst Ereignisse und dann Ergebnismengen gibt, wenn die Faktoren gemischt auftreten würden, erschiene mir dies sinnvoller (aber das liegt vermutlich daran, dass ich die Definition nicht begriffen habe).
Hoffentlich konnte ich meine Probleme verdeutlichen (bin ansonsten gerne bereit diese noch näher auszuführen). Bin dankbar für jede Hilfe.
MrCoffee
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Hi! Mit dieser Definition kann ich auch nicht sehr viel anfangen.
Vielleicht solltest Du einige Stochastikbücker zum Checken heranziehen
(Masstheorie).
Die Produkt-sigma-Algebra, welche von Zylindermengen
A_^1 x ...x [mm] A_n [/mm] mit [mm] A_i \in F_i [/mm] erzeugt wird kann man sich ganz
einfach an zwei unterschiedlichen Beispielen vorstellen:
1. Lebesque-Maß im [mm] R^n: [/mm] Statt der Intervalle, wie auf der
Zahlengeraden, nimmt man Quader, welche ja wieder
Kreuzprodukte von Intervallen sind. Die üblichen Operationen
Vereinigung, Schnitt, Subtraktion iterativ unendlich angewendet
liefern dann alle Kompakten, offenen und abgeschl. Mengen im [mm] R^n
[/mm]
und noch viele mehr.
2. Zufällige Funktionen (stochastische Prozesse):
Hier betrachtet man die Zylinder Z aller Funktionen
(z.B. stetige F auf [0,1] in [mm] \R) [/mm] , welche folgende
Gestalt haben [mm] f(x_i) \in A_i [/mm] (1=1,...,n).
Vorstellung: Denke Dir an den Stellen [mm] x_1, ...,x_n
[/mm]
mehrere hintereinander aufgestellte Linsen mit
Öffnungsfläche [mm] A_i [/mm] (Intervalle). Dann sind in Z
alles stetige Funktionen, welche an diesen Stellen
[mm] x_i [/mm] durch die Spalte [mm] A_i [/mm] laufen.
Praktische Anwendung: Midpoint displacement
Methode bei erzeigen von zufälligen Funktionen
wie der Brownschen Bewegung.
3. Die so erzeugten mengen liegen in der
kleinsten [mm] \Sigma [/mm] Algebra, welche alle
Zylinder enthält. Die tauft man in der Regel
[mm] \sigma [/mm] (F_^x ...x [mm] F_n).
[/mm]
Mehr kann ich mir auch nicht dazu aus den Fingern saugen.
Gruss der Schlunzbuns
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Sa 26.04.2008 | | Autor: | MrCoffee |
Herzlichen Dank für die Antwort. Den zweiten Punkt habe ich zwar noch nicht vollständig Begriffen, aber das Beispiel der Borel-Algebra hat mir einerseits ein wenig Anschauung und andererseits auch Grenzen dieser vor Augen geführt. Werde mich jetzt mithilfe von Analysis 3 und Stochastik Bücher nochmal mit der formalen Definition beschäftigen und gegebenenfalls nochmal Rückfrage stellen.
Mit besten Grüßen MrCoffee
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