Probleme mit Integral < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mo 14.11.2011 | | Autor: | nnco |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi}{dx }\bruch{ \sin( \theta ) \* (a^2 - 1)}{(1+a^2-2 a \cos(\theta))^\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{d\cos(\theta) }\bruch{(a^2 - 1)}{(1+a^2-2 a \cos(\theta))^\bruch{3}{2}} [/mm] ( = -2 ?) |
Hallo Zusammen,
Beim Lösen einer Aufgabe zur theoretischen Physik hänge ich bei der Lösung eines Integrals. Zu dieser Übungsaufgabe existiert zwar eine Lösung - jedoch kann ich den Schritt zum Ergebnis von -2 absolut nicht nachvollziehen (Die Substitution habe ich selbst genauso).
Auffällig finde ich, dass der Nenner sehr dem Kosinussatz ähnelt, jedoch erhalte ich mit Substitution dessen durch die Potenz 3/2 ein noch komplexeres Integral.
Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand vielleicht eine Hilfestellung geben könnte.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Di 15.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{dx }\bruch{ \sin( \theta ) \* (a^2 - 1)}{(1+a^2-2 a \cos(\theta))^\bruch{3}{2}}[/mm]
> = [mm]\integral_{-1}^{1}{d\cos(\theta) }\bruch{(a^2 - 1)}{(1+a^2-2 a \cos(\theta))^\bruch{3}{2}}[/mm]
> ( = -2 ?)
Das verstehe ich auch nicht, denn der Integrand hängt doch gar nicht von x ab, wieso sollte man da substituieren?
> Hallo Zusammen,
>
> Beim Lösen einer Aufgabe zur theoretischen Physik hänge
> ich bei der Lösung eines Integrals. Zu dieser
> Übungsaufgabe existiert zwar eine Lösung - jedoch kann
> ich den Schritt zum Ergebnis von -2 absolut nicht
> nachvollziehen (Die Substitution habe ich selbst genauso).
>
> Auffällig finde ich, dass der Nenner sehr dem Kosinussatz
> ähnelt, jedoch erhalte ich mit Substitution dessen durch
> die Potenz 3/2 ein noch komplexeres Integral.
>
> Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand vielleicht eine
> Hilfestellung geben könnte.
> Vielen Dank
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 16.11.2011 | | Autor: | nnco |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi}{d\theta }\bruch{ \sin( \theta ) \* (a^2 - 1)}{(1+a^2-2 a \cos(\theta))^\bruch{3}{2}} [/mm] |
Hallo notinX,
Entschuldige bitte vielmals - ist wird natürlich über [mm] d\theta [/mm] integriert. Ich habe mich bei dem Ausgangsintegral vetippt.
Bis jetzt bin ich leider nicht dahintergekommen, wie man das Integral löst.
Bei der Suche nach einem Lösungsweg bin ich auf ![[]](/images/popup.gif) Elliptische Integrale gestoßen, die dem hier sehr ähnlich sind - jedoch heißt es dort nur "Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen[...]".
Hat jemand vielleicht eine Idee?
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Hallo nnco,
ich gehe davon aus, dass a ein von [mm] \theta [/mm] unabhängiger Parameter ist.
Dann kommst Du ganz ohne elliptische Integrale aus. Ich nehme mal das unbestimmte Integral:
[mm] \integral{\bruch{\sin{(\theta)}*(a^2-1)}{(1+a^2-2a\cos{(\theta)})^{\bruch{3}{2}}}\ d\theta}=\cdots
[/mm]
Substitution: [mm] t=a^2+1-2a\cos{(\theta)}\quad\Rightarrow\quad d\theta=\bruch{dt}{2a\sin{\theta}}
[/mm]
[mm] \cdots=\bruch{a^2-1}{2a}*\integral{\bruch{1}{t^{\bruch{3}{2}}}\ dt}=\bruch{(a^2-1)}{2a}*\bruch{(-2)}{t^{\bruch{1}{2}}}+C=\bruch{1-a^2}{a\wurzel{a^2+1-2a\cos{\theta}}}+C
[/mm]
So, und jetzt kannst Du ja Deine Grenzen noch anwenden.
Grüße
reverend
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