Problem zu einer Periodenzahl < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 25.11.2008 | | Autor: | mucki.l |
x= [mm] 0,\overline{9} [/mm] |*10
10x= [mm] 9,\overline{9} [/mm] |-x
10x-x = [mm] 9,\overline{9} [/mm] - [mm] 0,\overline{9}
[/mm]
9x=9
x=1
Was sagt ihr dazu?
[mm] 0,\overline{9} [/mm] ist doch nicht 1
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> x= [mm]0,\overline{9}[/mm] |*10
> 10x= [mm]9,\overline{9}[/mm] |-x
> 10x-x = [mm]9,\overline{9}[/mm] - [mm]0,\overline{9}[/mm]
> 9x=9
> x=1
>
>
> Was sagt ihr dazu?
> [mm]0.\overline{9}[/mm] ist doch nicht 1
Hallo mucki,
Die Rechnung ist in Ordnung, und tatsächlich
ist [mm]0,\overline{9}=1[/mm]
Gegenfrage:
Hast du dich jemals daran gestossen, dass
[mm] $\bruch{1}{3}\ [/mm] =\ 0.3333333......\ =\ [mm] 0.\overline{3}\ [/mm] \ ?$
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Di 25.11.2008 | | Autor: | mucki.l |
Nein habe ich nicht aber mir kommt das merkwürdig vor
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> Nein habe ich nicht aber mir kommt das merkwürdig vor
Merkwürdig ist das tatsächlich: würdig, es sich zu merken !
Mathematisch gesehen ist ein unendlicher Dezimalbruch
wie z.B.
[mm] \bruch{1}{3}=0.33333.....
[/mm]
[mm] \wurzel{2}=1.414213562373.....
[/mm]
[mm] \pi=3.14159265.....
[/mm]
ein Grenzwert.
Um das "Paradox" mit $\ 0.99999.....\ =\ 1$ zu verstehen, hilft
möglicherweise auch noch dies:
Wir betrachten die beiden Zahlenfolgen:
$\ a = <0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, 0.999999, ..... >$
$\ b = <1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, 1.00001, 1.000001, ..... >$
Das n-te Glied der Folge a ist [mm] a_n=1-\bruch{1}{10^n}
[/mm]
Das n-te Glied der Folge b ist [mm] b_n=1+\bruch{1}{10^n}
[/mm]
Die Folge b hat den Grenzwert 1, da [mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{1}{10^n}=0
[/mm]
Die Zahl [mm] a_n [/mm] liegt genau gleich weit unter 1 wie [mm] b_n [/mm] darüber
liegt. Wenn man zugesteht, dass die [mm] b_n [/mm] den Grenzwert 1
haben, kommt man nicht umhin, auch [mm] \limes_{n\to\infty}a_n=1
[/mm]
zu akzeptieren.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 25.11.2008 | | Autor: | Philipp91 |
Al danke für die schnelle Antwort, das mit den Zahlenfolgen und dem Grenzwert versteht ich, aber der Schüler aus der 5. - 7. Klasse sicher nicht.
Es ist natürlich auch richtig das, wenn man es als eine Folge ausdrückt, sich immer weiter der 1 annähert und die Folge den Grenzwert 1 hat, jedoch erreicht die Folge den Wert aber nie und deshalb bin ich der Meinung das [mm] 0,\overline{9} [/mm] nicht 1 ist ( ist halt iwie Kopfsache)^^
MFG Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Al danke für die schnelle Antwort, das mit den Zahlenfolgen
> und dem Grenzwert versteht ich, aber der Schüler aus der 5.
> - 7. Klasse sicher nicht.
> Es ist natürlich auch richtig das, wenn man es als eine
> Folge ausdrückt, sich immer weiter der 1 annähert und die
> Folge den Grenzwert 1 hat, jedoch erreicht die Folge den
> Wert aber nie und deshalb bin ich der Meinung das
> [mm]0,\overline{9}[/mm] nicht 1 ist ( ist halt iwie Kopfsache)^^
Das ist doch Unsinn.
Wie immer in der Mathematik hat es keinen Sinn sich über Begriffe auszulassen, deren Definition man nicht kennt oder nicht verstanden hat.
[mm] 0,\overline{9} [/mm] ist definiert als
[mm] 0,\overline{9} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n} [/mm] = 1
also als Reihenwert einer konvergenten Reihe. Ebenso
[mm] 0,\overline{3} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3}{10^n} [/mm] = 1/3
FRED
>
> MFG Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Di 25.11.2008 | | Autor: | Philipp91 |
10 * [mm] 0,\overline{9} [/mm] ist nicht [mm] 9,\overline{9}
[/mm]
du musst es so sehen, wenn du [mm] 0,\overline{9} [/mm] multiplizierst mit 10 ist die letzte Stelle weg
Lass es mich an einem Beispiel verdeutlichen:
2* 0.999 = 1.998
3* 0.999 = 2.997
10 * 0.999 = 9.99
9.99 - 0.999 = 8.991 und 8.991 / 9 = 0.999
Naja und das musst du dir mit ganz vielen Stellen nach dem Komma vorstellen.
Hoffe ich hab es für dich verständlich gemacht
Wenn du willst kann ich dir auch einen Induktionsbeweis bringen, aber da dir dazu wahrscheinlich die Kenntnisse fehlen bringt es dir nichts.
Also ich hoffe ich konnte dir helfen, bei Fragen einfach helfen
MFG Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 25.11.2008 | | Autor: | Philipp91 |
[mm] 0,\overline{9} [/mm] ist nicht 1
MFG Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Di 25.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Philipp!
> [mm]0,\overline{9}[/mm] ist nicht 1
Doch! Wie bereits hier geschrieben!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> 10 * [mm]0,\overline{9}[/mm] ist nicht [mm]9,\overline{9}[/mm]
>
> du musst es so sehen, wenn du [mm]0,\overline{9}[/mm] multiplizierst
> mit 10 ist die letzte Stelle weg
>
> Lass es mich an einem Beispiel verdeutlichen:
> 2* 0.999 = 1.998
> 3* 0.999 = 2.997
> 10 * 0.999 = 9.99
>
> 9.99 - 0.999 = 8.991 und 8.991 / 9 = 0.999
$\ 9,99 - 0,999 = 8,991 $ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$\ [mm] 9,\overline{9} \not= [/mm] 9,99 $
$\ [mm] 9,\overline{9} [/mm] - [mm] 0,\overline{9} [/mm] = 9 $
Die Nachkommastellen sollten auf beiden Seiten schon gleich sein, sonst stimmt das Ergebnis natürlich nicht. Mir ist durchaus klar, [mm] dass0,\overline{9} [/mm] nicht gleich $\ 0,99 $ ist.
Da allerdings beide Seiten periodisch sind, sollte die Rechnung von mucki schon stimmen.
>
> Naja und das musst du dir mit ganz vielen Stellen nach dem
> Komma vorstellen.
> Hoffe ich hab es für dich verständlich gemacht
> Wenn du willst kann ich dir auch einen Induktionsbeweis
> bringen, aber da dir dazu wahrscheinlich die Kenntnisse
> fehlen bringt es dir nichts.
> Also ich hoffe ich konnte dir helfen, bei Fragen einfach
> helfen
>
> MFG Philipp
Gruß
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Di 25.11.2008 | | Autor: | Philipp91 |
Meine Rechnung ist richtig, hinter dem 9,99 kommt keine Nachkommastelle mehr ;) denn 10* 0.999 ist nun mal 9,99
Und klar ist das nicht [mm] 0,\overline{9}, [/mm] ich wollte ja lediglich meinen Gedankenansatz erläutern
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> 10 * [mm]0,\overline{9}[/mm] ist nicht [mm]9,\overline{9}[/mm]
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> du musst es so sehen, wenn du [mm]0,\overline{9}[/mm] multiplizierst
> mit 10 ist die letzte Stelle weg
>
> Lass es mich an einem Beispiel verdeutlichen:
> 2* 0.999 = 1.998
> 3* 0.999 = 2.997
> 10 * 0.999 = 9.99
>
> 9.99 - 0.999 = 8.991 und 8.991 / 9 = 0.999
>
> Naja und das musst du dir mit ganz vielen Stellen nach dem
> Komma vorstellen.
Hallo Philipp,
das Wesentliche an der periodischen Dezimalzahl
$\ [mm] 0.\overline{9}\ [/mm] =\ 0.9999999.....$
ist eben gerade, dass sie nicht nur "ganz viele",
sondern unendlich viele Stellen nach dem Komma hat.
"Unendlich" bedeutet hier wörtlich: ohne Ende, das
heisst, es gibt keine letzte Stelle, welche
"wegfallen" könnte.
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Di 25.11.2008 | | Autor: | Philipp91 |
Das mit dem unendlich bei Periode ist mir natürlich auch klar, jedoch kann ich es einfach nicht wahr haben das [mm] 0,\overline{9} [/mm] = 1 ist
die Folge [mm] 1/10^n [/mm] strebt ja auch nur gegen 0 und wir sie nie erreichen^^
ich werde später nochmal eine längere Rechnung dazu hier posten, jedoch hab ich heute nicht mehr viel Zeit, da ich morgen noch eine andere Klausur schreibe
MFG Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Das mit dem unendlich bei Periode ist mir natürlich auch
> klar, jedoch kann ich es einfach nicht wahr haben das
> [mm]0,\overline{9}[/mm] = 1 ist
Dann lies was ich oben geschrieben habe
FRED
> die Folge [mm]1/10^n[/mm] strebt ja auch nur gegen 0 und wir sie
> nie erreichen^^
> ich werde später nochmal eine längere Rechnung dazu hier
> posten, jedoch hab ich heute nicht mehr viel Zeit, da ich
> morgen noch eine andere Klausur schreibe
>
> MFG Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Di 25.11.2008 | | Autor: | Philipp91 |
Ist in Ordnung. Muss wohl eingestehn das ich falsch lag, sry.
MFG Philipp
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