Problem mit einfacher DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne für [mm] x_0 [/mm] , [mm] y_0 \in\IR [/mm] eine Lösung des folgenden Anfangwertproblems auf einer kleinen Umgebung um [mm] x_o
[/mm]
[mm] y'=\cos{x}\exp{y} [/mm] mit [mm] y(x_{0})=y_0
[/mm]
Bestimme im Fall [mm] y_0 [/mm] das maximale Existenzintervall dieser Lösung in Abhängigkeit von [mm] x_o [/mm] explizit. |
Hallo, ich habe versucht die DGL mit Separation der Variablen zu lösen, aber es kommt irgendwie nur Unfug raus, kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Meine Rechenschritte sind:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \cos{x}\exp{y} \Rightarrow \exp^{-y}dy [/mm] = [mm] \cos{x}dx
[/mm]
[mm] \int_{y_{0}}^{y}{e^{-\eta} d\eta} [/mm] = [mm] \int_{x_{0}}^{x}{\cos{\tau} d\tau}
[/mm]
[mm] -\exp^{-\eta} \right|_{y_0}^{y} [/mm] = [mm] \sin{\tau} \right|_{x_0}^{x}
[/mm]
[mm] -\exp^{-y}+\exp^{-y_0} [/mm] = [mm] \sin{x}-\sin{x_0}
[/mm]
[mm] \exp^{-y}=-\sin{x}+C, [/mm] wobei [mm] C:=\sin{x_0}+\exp^{-y_0}
[/mm]
-y = [mm] ln(-\sin{x}+C)
[/mm]
y = [mm] -ln(-\sin{x}+C)
[/mm]
Die Lösung ist aber falsch, wenn ich zum nachprüfen ableite kommt nur mist raus.
Könnte mir bitte jemand helfen?
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 31.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechne für [mm]x_0[/mm] , [mm]y_0 \in\IR[/mm] eine Lösung des folgenden
> Anfangwertproblems auf einer kleinen Umgebung um [mm]x_o[/mm]
> [mm]y'=\cos{x}\exp{y}[/mm] mit [mm]y(x_{0})=y_0[/mm]
>
> Bestimme im Fall [mm]y_0[/mm] das maximale Existenzintervall dieser
> Lösung in Abhängigkeit von [mm]x_o[/mm] explizit.
> Hallo, ich habe versucht die DGL mit Separation der
> Variablen zu lösen, aber es kommt irgendwie nur Unfug
> raus, kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
>
> Meine Rechenschritte sind:
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\cos{x}\exp{y} \Rightarrow \exp^{-y}dy[/mm] =
> [mm]\cos{x}dx[/mm]
> [mm]\int_{y_{0}}^{y}{e^{-\eta} d\eta}[/mm] =
> [mm]\int_{x_{0}}^{x}{\cos{\tau} d\tau}[/mm]
> [mm]-\exp^{-\eta} \right|_{y_0}^{y}[/mm]
> = [mm]\sin{\tau} \right|_{x_0}^{x}[/mm]
> [mm]-\exp^{-y}+\exp^{-y_0}[/mm] =
> [mm]\sin{x}-\sin{x_0}[/mm]
> [mm]\exp^{-y}=-\sin{x}+C,[/mm] wobei [mm]C:=\sin{x_0}+\exp^{-y_0}[/mm]
> -y = [mm]ln(-\sin{x}+C)[/mm]
> y = [mm]-ln(-\sin{x}+C)[/mm]
>
>
> Die Lösung ist aber falsch,
Das ist sie nicht !!!
> wenn ich zum nachprüfen
> ableite kommt nur mist raus.
zeig mal wie Du prüfst.
FRED
> Könnte mir bitte jemand helfen?
>
> Gruß helicopter
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Hallo,
ich hab die Funktion einfach abgeleitet und kriege dann:
[mm] \bruch{d}{dx}(-ln(-\sin{x}+C)) [/mm] = [mm] -1(\bruch{1}{-\sin{x}+c}*-\cos{x}) [/mm] = [mm] \bruch{\cos{x}}{-sin{x}+C}
[/mm]
Edit: Habe auch gerade versucht das -1 erst in den ln reinzuziehen, aber dann wird die Ableitung zu einem sehr unschönen Ausdruck.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Do 31.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich hab die Funktion einfach abgeleitet und kriege dann:
> [mm]\bruch{d}{dx}(-ln(-\sin{x}+C))[/mm] =
> [mm]-1(\bruch{1}{-\sin{x}+c}*-\cos{x})[/mm] =
> [mm]\bruch{\cos{x}}{-sin{x}+C}[/mm]
Ist doch prima. Und was ist [mm] \cos{x}\exp{y} [/mm] ?
FRED
>
> Edit: Habe auch gerade versucht das -1 erst in den ln
> reinzuziehen, aber dann wird die Ableitung zu einem sehr
> unschönen Ausdruck.
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Hallo,
für [mm] \cos{x}\exp{y} [/mm] kenne ich leider keine Identitäten...
Aber ich nehme an das wird der Ausdruck sein (Wie kommt man darauf? Über Reihendarstellung oder Euler?)
Was bedeutet eigentlich in der Aufgabenstellung auf einer kleinen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ?
Muss ich diese angeben?
Für das Existenzintervall der Lösung [mm] y_0 [/mm] = 0 muss ich ja nur x finden für die -sin(x)+C = 1 wird richtig?
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Do 31.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist y = $ [mm] -ln(-\sin{x}+C) [/mm] $, was ist dann
[mm] e^y [/mm] ?
FRED
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[mm] \exp^{-(-\sin{x}+c)} [/mm] = [mm] \exp^{sin{x}-c} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Do 31.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\exp^{-(-\sin{x}+c)}[/mm] = [mm]\exp^{sin{x}-c}[/mm] ?
Es ist doch y = $ [mm] -ln(-\sin{x}+C) [/mm] $
den ln hast Du verschlampt
FRED
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Äh, dann hätten wir [mm] \exp^{-ln(-\sin{x}+c)} [/mm] = [mm] \exp^{ln\bruch{1}{-\sin{x}+c}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-\sin{x}+c}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Do 31.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Äh, dann hätten wir [mm]\exp^{-ln(-\sin{x}+c)}[/mm] =
> [mm]\exp^{ln\bruch{1}{-\sin{x}+c}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-\sin{x}+c}[/mm]
Bingo !
Jetzt multipliziere das mit cos(x) und vergleiche mit y'
FRED
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Kommt hin, Danke :)
Aber mich verwirrt immernoch die Aufgabenstellung wegen der kleinen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] , ohne Grund schreibt der Aufgabensteller ja nichts hin. Muss ich diese Umgebung angeben oder etwas dazu sagen oder ist der erste Teil der Aufgabe erledigt?
EDIT: Und das Existenzintervall macht mir auch Probleme, wie geht man denn da vor?
Es muss ja [mm] y(x_{0}) [/mm] = 0 sein, also 0 = [mm] -ln(-\sin{x}+sin{x_{0}}+e^0) \right|_{x=x_0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\sin{x_{0}}+sin{x_{0}}+1 [/mm] = 1
Das ist doch für beliebiges [mm] x_0 [/mm] erfüllt?
EDIT2: Ok, das Argument vom ln muss >0 sein, also muss [mm] -\sin{x}+\sin{x_0}+1 [/mm] > 0 sein,
[mm] \sin{x_0 }+ [/mm] 1 > [mm] \sin{x}
[/mm]
[mm] \arcsin{(\sin{x_0}+1)} [/mm] > x
Aber wie soll ich das noch expliziter bestimmen?
Gruß helicopter
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Oh mann, das wird immer lustiger...
Also es müsste gelten x < [mm] \arcsin{(\sin{x_0}+1)}
[/mm]
Da der arcsin nur von [-1,1] definiert ist darf mein [mm] \sin{x_0} [/mm] nicht größer als 0 sein,
also ist [mm] x_{0}\in[\pi,2\pi] [/mm] dann würde der [mm] \arcsin [/mm] die werte aus [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] annehmen.
Macht das bis jetzt Sinn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 31.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein , sieh lieber die Beziehung [mm] sinx
also musst du nur noch fuer die anderen [mm] x_0 [/mm] uberlegen
gruss leduart
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