Problem mit Separationsansatz < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 Fr 28.01.2011 | | Autor: | frozer |
| Aufgabe | [Bestimmen Sie alle (reellen) Lösungen der Euler-Bernoulli-Gleichung
[mm] $u_{tt} [/mm] + [mm] u_{xxxx} [/mm] = 0$
der Gestalt $u(x; t) = X(x) [mm] \cdot [/mm] T(t)$.
] |
Hi,
zuerst:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
und steht aktuell einfach nur auf dem Schlauch.
Und Zwar soll ich jaalle reellen Lösungen der Gleichung $u_tt + u_xxxx = 0$ bestimmen.
Da ich den Seperationsansatz $u(x; t) = X(x) [mm] \cdot [/mm] T(t)$ nutzen soll, kann ich ja einfach einsetzten bzw es gilt:
[mm] $u_{tt} [/mm] = X(x) [mm] \cdot [/mm] T''(t)$ bzw
[mm] $u_{xxxx} [/mm] = X''''(x) [mm] \cdot [/mm] T(t) = [mm] X^{(4)} \cdot [/mm] T(t)$ eingesetzt in die Gleichung ergibt das ja:
$X(x) [mm] \cdot T''(t)+X^{(4)} \cdot [/mm] T(t) = 0$
nach x bzw t aufgelößt:
[mm] $\dfrac{T''(t)}{T(t)} [/mm] = - [mm] \dfrac{X^{(4)}(x)}{X(x)} [/mm] = [mm] \lambda$
[/mm]
mit [mm] $\lambda$ [/mm] Konstant
daraus ergeben sich ja die DGLs:
1)
$T''(t) - T(t) [mm] \lambda [/mm] = 0$
Hier bekomm ichs noch auf die reihe auf T(t) zu kommen...
(bilde char-polynom....
[mm] $\mu^2- \lambda [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow \mu^2 [/mm] = [mm] \lambda \Leftrightarrow \mu [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\lambda}$ [/mm]
$T(t) = [mm] c_1 \cdot e^{\wurzel{\lambda}}+c_1 \cdot e^{-\wurzel{\lambda}}
[/mm]
2)
jetzt kommt die eigentliche frage...bzw hier komm ich nicht weiter....
- $X''''(x) - [mm] X(x)\lambda [/mm] = 0$
wie komm ich hier den auf die NST's????
char-Poly:
- [mm] $\mu^4 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0$
[mm] $\mu [/mm] = [mm] \pm \wurzel[4]{-\lambda} [/mm] $
aber da fehlen ja noch 2....wie erhalt ich die gleich nochmal?
ich seh den wald vor lauter bäumen grad nicht mehr :S:S:S:S:S
viele danke für jede Hilfe :)
grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Fr 28.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Im komplexen hat die n te Wurzel immer n Werte
[mm] z^4=-1=e^{i*(\pi+k*2\pi} [/mm] daraus findest du leicht die 4 Wurzeln.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Fr 28.01.2011 | | Autor: | frozer |
Vielen Dank erstmal für die Antwort.
Ich soll doch nach Aufgabenstellung alle RELLEN Lösungen bestimmen.
Also wenn ich davon ausgehe dass meine (beliebige) konstante aus [mm] \IC [/mm] kommt dann kann ich doch diese auch komplett wegfallen lassen oder etwa nicht?
sonst wären ja die Lösungen gegeben mit:
[mm] z_{k0} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi}{4}i}
[/mm]
[mm] z_{k1} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi+2\pi}{4}i}
[/mm]
[mm] z_{k2} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi+4\pi}{4}i}
[/mm]
[mm] z_{k3} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi+6\pi}{4}i}
[/mm]
grüße
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Hallo frozer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vielen Dank erstmal für die Antwort.
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> Ich soll doch nach Aufgabenstellung alle RELLEN Lösungen
> bestimmen.
>
> Also wenn ich davon ausgehe dass meine (beliebige)
> konstante aus [mm]\IC[/mm] kommt dann kann ich doch diese auch
> komplett wegfallen lassen oder etwa nicht?
>
> sonst wären ja die Lösungen gegeben mit:
>
> [mm]z_{k0}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi}{4}i}[/mm]
>
> [mm]z_{k1}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi+2\pi}{4}i}[/mm]
>
> [mm]z_{k2}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi+4\pi}{4}i}[/mm]
>
> [mm]z_{k3}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{\lambda} \cdot e^{\dfrac{\varphi+6\pi}{4}i}[/mm]
Mit u(x,t) reell sind auch sämtliche partiellen Ableitungen reeell.
>
> grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:14 Sa 29.01.2011 | | Autor: | frozer |
hi, vielen dank erstmal für deine antwort.
ich habe jetzt lange überlegt was mit das bringen kann, dass alle partiellen Ablöeitungen auch reell sind....
das bedeutet ja nichts anderes als dass:
$X''''(X) = [mm] \dfrac{\delta^4 X(x)}{\delta x^4}= \tilde{\lambda} \in \IR$ [/mm] ist oder?
mit [mm] $\tilde{\lambda}$ [/mm] konstant.
bzw:
$T''(t) = [mm] \dfrac{\delta^2 T(t)}{\delta t^2} [/mm] = [mm] \tilde{\lambda} \in \IR$
[/mm]
mit [mm] $\tilde{\lambda}$ [/mm] konstant.
[Achtung das müsste ja eine andere Konstante sein......]
das hilft mir jetzt aber nicht wirklich weiter.....bräuchte vll noch nen tipp oder ansatz wie ich weiter machen kann.....
vielen dank & grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Sa 29.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. mit $ [mm] \dfrac{T''(t)}{T(t)} [/mm] = - [mm] \dfrac{X^{(4)}(x)}{X(x)} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] $
ist die Konstante für beide gleich!
2. jede Linearkomb. von 2 lösungen ist wieder eine Lösung, mit der Kombination von 2 konj komlexen Lösungen, bekommst du eine reelle lösung.
Bsp: f''=-f
ansatz [mm] f=Ce^{at} [/mm] folgt [mm] a=\pm [/mm] i
[mm] f1=C_1e^{it}=C1(cost+isint)
[/mm]
[mm] f2=A1e^{-it}=A1(cost-isint)
[/mm]
f1*A1+f2*C1=B*cost=f3
f1*iA1+F2*iC1=D*sint=f4
also 2 unabh. reelle Lösungen f3 und f4 .
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Sa 29.01.2011 | | Autor: | frozer |
ahhhhhhhhhhhhh na klaro.....^^
vielen dank für die antworten jetzt mir einiges klarer :D
thx thx :)
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