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Folgende Aufgabe:
Auf dem Intervall 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] definiere man
f(x)=sin(x)+cos(x)
Wo ist f monoton wachsend, wo ist f monoton fallend? Zeigen Sie, dass f im gegebenen Intervall konkav ist.
Habe keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll.
Hätte jetzt die 1. und 2. Ableitung bestimmt, um Extremwerte zu erhalten. Dann würde ich gucken, ob diese im Intervall liegen. Dann könnte ich das Monotonieverhalten im Intervall ganz einfach bestimmen. Aber irgendwie haperts bei mir daran schon. Wenn ich f'(x) = cosx-sinx = 0 setze, wie komme ich dann auf x? Genau das gleiche Problem bei der 2. Ableitung. Ist diese <0, ist f konkav. Aber wie zeige ich das im gegebenen Intervall?
Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du kannst z.B. den Tangens benutzen für diese Gleichungen... musst dann nur geeignet umformen.
Für die Monotonie könntest du deine ersten beiden Schritte in einem machen und direkt prüfen, für welche x die Ableitung >0 bzw. <0 ist.
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> Du kannst z.B. den Tangens benutzen für diese
> Gleichungen... musst dann nur geeignet umformen.
> Für die Monotonie könntest du deine ersten beiden Schritte
> in einem machen und direkt prüfen, für welche x die
> Ableitung >0 bzw. <0 ist.
>
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Ok, aber welche Schritte in einem? Das verstehe ich nicht!
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Hallo!
Es ist
$f(x) = [mm] \sin(x) [/mm] + [mm] \cos(x)$.
[/mm]
Eine Funktion f ist monoton wachsend, wenn $f'(x) > 0$ ist.
Eine Funktion f ist monoton fallend, wenn $f'(x) < 0$ ist.
Eine Funktion f ist konkav, wenn $f''(x) [mm] \le [/mm] 0$ ist.
Eine Funktion f ist konvex, wenn $f''(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ist.
Nun musst du die Eigenschaften einfach bei dir überprüfen! Beispielsweise überprüfen wir jetzt mal, wo die Funktion monoton wachsend ist:
$f'(x) = [mm] \cos(x)-\sin(x) [/mm] > 0 [mm] \gdw \cos(x) [/mm] > [mm] \sin(x)$
[/mm]
Im Intervall [mm] [0,\pi/2] [/mm] ist [mm] \cos(x) \ge [/mm] 0, also:
[mm] $\gdw [/mm] 1 > [mm] \tan(x) \gdw \frac{\pi}{4} [/mm] > x$
D.h. im Intervall [mm] [0,\frac{\pi}{4}] [/mm] ist die Funktion f monoton wachsend, entsprechend im Intervall [mm] [\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}] [/mm] monoton fallend.
Nun kannst du dasselbe Prinzip auch mit der Konvexität bzw. Konkavität der Funktion machen!
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Eine Alternative ist es, sich an den Extrempunkten heranzuhangeln. Dazu bestimmst du erst alle Extrempunkte der Funktion f mit der Gleichung $f'(x) = 0$. Du weißt, das an einem Minimum/Maximum ein Monotoniewechsel stattfindet. Wenn beispielsweise jetzt hier eine Extremstelle bei $x = [mm] \frac{\pi}{4}$ [/mm] vorliegt, musst du nur noch überprüfen, ob die Funktion f bei Einsetzen eines Wert links von [mm] \pi/4 [/mm] ein größeren Funktionswert liefert oder nicht. Entsprechend liegt dann die Monotonie vor.
Viele Grüße, Stefan.
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> Hallo!
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> Es ist
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> [mm]f(x) = \sin(x) + \cos(x)[/mm].
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> Eine Funktion f ist monoton wachsend, wenn [mm]f'(x) > 0[/mm] ist.
> Eine Funktion f ist monoton fallend, wenn [mm]f'(x) < 0[/mm] ist.
> Eine Funktion f ist konkav, wenn [mm]f''(x) \le 0[/mm] ist.
> Eine Funktion f ist konvex, wenn [mm]f''(x) \ge 0[/mm] ist.
>
> Nun musst du die Eigenschaften einfach bei dir überprüfen!
> Beispielsweise überprüfen wir jetzt mal, wo die Funktion
> monoton wachsend ist:
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> [mm]f'(x) = \cos(x)-\sin(x) > 0 \gdw \cos(x) > \sin(x)[/mm]
>
> Im Intervall [mm][0,\pi/2][/mm] ist [mm]\cos(x) \ge[/mm] 0, also:
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> [mm]\gdw 1 > \tan(x) \gdw \frac{\pi}{4} > x[/mm]
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> D.h. im Intervall [mm][0,\frac{\pi}{4}][/mm] ist die Funktion f
> monoton wachsend, entsprechend im Intervall
> [mm][\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}][/mm] monoton fallend.
>
> Nun kannst du dasselbe Prinzip auch mit der Konvexität bzw.
> Konkavität der Funktion machen!
>
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> Eine Alternative ist es, sich an den Extrempunkten
> heranzuhangeln. Dazu bestimmst du erst alle Extrempunkte
> der Funktion f mit der Gleichung [mm]f'(x) = 0[/mm]. Du weißt, das
> an einem Minimum/Maximum ein Monotoniewechsel stattfindet.
> Wenn beispielsweise jetzt hier eine Extremstelle bei [mm]x = \frac{\pi}{4}[/mm]
> vorliegt, musst du nur noch überprüfen, ob die Funktion f
> bei Einsetzen eines Wert links von [mm]\pi/4[/mm] ein größeren
> Funktionswert liefert oder nicht. Entsprechend liegt dann
> die Monotonie vor.
>
> Viele Grüße, Stefan.
Genauso hätte ich das ja gemacht. Vielen Dank. Mit der Umformund in tan x komme ich auch auf [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] als Extremwert. Aber die Funktion hat doch unendlich viele Extremwerte oder? Wie kriege ich die anderen raus? Nur aus Interesse? Wie schreibt man das?
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Für deine Aufgabe spielt das natürlich keine Rolle, weil du das ja nur auf dem Intervall [0; [mm] 2\pi] [/mm] untersuchen sollst.
Ansonsten geht es so wie auch beim "einfachen" Sinus und bei allen anderen periodischen Funktionen.
Wenn cos(x)-sin(x) bei [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] eine Nullstelle hat, dann auch immer, wenn du um ein Vielfaches von [mm] \pi [/mm] weiterrückst.
Das würde man so schreiben: Nullstellen bei [mm]x_k=\bruch{\pi}{4} + k*\pi[/mm] für k [mm] \in \IZ.
[/mm]
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> Für deine Aufgabe spielt das natürlich keine Rolle, weil du
> das ja nur auf dem Intervall [0; [mm]2\pi][/mm] untersuchen sollst.
> Ansonsten geht es so wie auch beim "einfachen" Sinus und
> bei allen anderen periodischen Funktionen.
> Wenn cos(x)-sin(x) bei [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] eine Nullstelle hat,
> dann auch immer, wenn du um ein Vielfaches von [mm]\pi[/mm]
> weiterrückst.
> Das würde man so schreiben: Nullstellen bei
> [mm]x_k=\bruch{\pi}{4} + k*\pi[/mm] für k [mm]\in \IZ.[/mm]
Du meinst abe statt Nullstelle EXtremstelle oder?
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Du hast nach Nullstellen (der Ableitung) gefragt - das sind dann natürlich die Extremstellen, klar.
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Ich soll ja zeigen, dass die Funktion im gegebenen Intervall konkav ist, d.h. die zweite Ableitung in diesem Intervall immer negativ ist. Das ist aber nicht der Fall. Ich erhalte, dass die Funktion lediglich für kleiner als [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] konkav ist. Was mache ich falsch?
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Ne, das stimmt schon - schreib doch deinen Weg mal auf, dann können wir mal nach dem Fehler schauen.
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> Ne, das stimmt schon - schreib doch deinen Weg mal auf,
> dann können wir mal nach dem Fehler schauen.
Hab mich falsch ausgedrückt. Das stimmt schon. Nur ich erhalte als Nullstelle für die zweite Ableitung -(1/4) [mm] \pi. [/mm] Die liegt ja aber nicht im Intervall. Der nächste (3/4) pi ebenfalls nicht!
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Das ist doch nicht so schlimm, oder sehe ich da irgendwas nicht? Dass die zweite Ableitung auch über die Ränder des betrachteten Intervalls hinaus negativ ist, ändert meines Erachtens nichts über die Aussage innerhalb des Intervalls.
Ich schätze, es ist auf das Intervall bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] eingeschränkt, damit man bei der Rechnung mit dem Tangens keine Fallunterscheidungen machen muss. Nur so eine Vermutung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich soll ja zeigen, dass die Funktion im gegebenen
> Intervall konkav ist, d.h. die zweite Ableitung in diesem
> Intervall immer negativ ist. Das ist aber nicht der Fall.
> Ich erhalte, dass die Funktion lediglich für kleiner als
> [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] konkav ist. Was mache ich falsch?
Hallo
die Wendestellen sind gerade die Trennstellen zwischen konvex und konkav. Damit sind die zweiten Ableitungen am Rand des jeweiligen Krümmungsverhaltens GLEICH Null.
Im Übrigen: habt ihr "konvex" wirklich über f''<0 definiert? Nicht etwa [mm] f''\le [/mm] 0 ?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Folgende Aufgabe:
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> Auf dem Intervall 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm] definiere man
> f(x)=sin(x)+cos(x)
> Wo ist f monoton wachsend, wo ist f monoton fallend?
> Zeigen Sie, dass f im gegebenen Intervall konkav ist.
>
> Habe keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll.
Halo,
es geht z.B. so:
Aus y=sin(x)+cos(x) folgt [mm] y^2=(sin(x)+cos(x))^2=sin^2x+cos^2x+2sin(x)cos(x)=1+sin(2x) [/mm] und damit
[mm] |y|=\wurzel{1+sin(2x)}.
[/mm]
Da sowohl sin(x) als auch cos(x) im betrachten Intervoll nichtnegativ sind, gilt sogar [mm] y=\wurzel{1+sin(2x)}.
[/mm]
Dieser Term lässt sich möglicherweise für dich leichter auswerten.
Gruß Abakus
> Hätte jetzt die 1. und 2. Ableitung bestimmt, um
> Extremwerte zu erhalten. Dann würde ich gucken, ob diese im
> Intervall liegen. Dann könnte ich das Monotonieverhalten im
> Intervall ganz einfach bestimmen. Aber irgendwie haperts
> bei mir daran schon. Wenn ich f'(x) = cosx-sinx = 0 setze,
> wie komme ich dann auf x? Genau das gleiche Problem bei der
> 2. Ableitung. Ist diese <0, ist f konkav. Aber wie zeige
> ich das im gegebenen Intervall?
> Bitte um Hilfe!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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