Problem beim Lösen LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die obere Dreickesmatrix A und der Vektor [mm] \vec{b} [/mm] mit
A = [mm] \pmat{ 1 & 2-\alpha & 0 & -\alpha^{3} \\ 0 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & \alpha-2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3(2-\alpha)^{2} }
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{-2\alpha \\ 2 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Man löse das lineare Gleichungssystem in [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \alpha.
[/mm]
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Hallo zusammen,
ich habe immer wieder Problem beim Lösen von Gleichungssystemen wie ihr es in der Aufgabenstellung seht.
Mal kurz zu meinen Überlegungen:
- Die letzte Zeile ist erfüllt wenn entweder [mm] \alpha [/mm] = 2 oder [mm] x_{4} [/mm] = 0.
- Falls aber [mm] \alpha [/mm] = 2 ist die dritte Zeile nicht mehr erfüllt. Daraus habe ich dann gefolgert, dass wohl [mm] x_{4} [/mm] = 0 und somit die ganze letzte Spalte uninteressant ist.
Wenn ich dann mit dieser Annahme weiterrechner gibt es zwar relativ schöne Ergebnisse, die mit der Lösung aber leider rein garnichts gemein haben.
Könnt ihr mit bitte meinen Fehler und ein prinzipielles Vorgehen nennen, dass ich mit solchen Gleichungssystemen zuknüftig keine Probleme mehr habe und auf den richtigen Lösungsvektor komme?
Ich danke euch,
Grüße Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Sa 31.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Rechne einfach erstmal mit
[mm] 3(2-\alpha)^{2}*x_{4}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{4}=0
[/mm]
Und betrachte dann den Fall [mm] 3(2-\alpha)^{2}=0 [/mm] seperat.
Mit [mm] x_{4}=0
[/mm]
ergibt sich dann:
[mm] (\alpha-2)*x_{3}=1
[/mm]
[mm] \gdw x_{3}=\bruch{1}{\alpha-2}
[/mm]
Also:
[mm] x_{2}-\bruch{2}{\alpha-2}=2
[/mm]
[mm] \gdw x_{2}=2+\bruch{2}{\alpha-2}
[/mm]
Und damit dann [mm] x_{1}+(2-\alpha)*\left(\bruch{2}{\alpha-2}\right)=-2\alpha
[/mm]
Marius
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Hallo Marius,
zunächsteinmal vielen Dank für deine Antwort.
Genau auf die selbe Lösung wie du bin ich auch gekommen. Daher schreibe ich jetzt einfach mal die "Musterlösung" (von einem Tutor):
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2+2(\bruch{1}{\alpha-2}) \\ \bruch{1}{\alpha-2} \\ 0 } [/mm] + [mm] \mu \vektor{ \alpha^{3} - 5\alpha + 10 \\ -\alpha \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Woher kommen die ganzen Werte für den "hinteren" Vektor? Bzw. wie setzt sich die gesamte Lösung zusammen?
Und wie betrachte ich den Fall für [mm] \alpha [/mm] = 2 dann seperat?
Vielen Dank,
Grüße Johannes
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Hallo Johannes,
> Hallo Marius,
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> zunächsteinmal vielen Dank für deine Antwort.
> Genau auf die selbe Lösung wie du bin ich auch gekommen.
> Daher schreibe ich jetzt einfach mal die "Musterlösung"
> (von einem Tutor):
>
> [mm] $\vec{x}$= $\vektor{\red{-2\alpha+}2 \\ 2+2(\bruch{1}{\alpha-2}) \\ \bruch{1}{\alpha-2} \\ 0 } [/mm] + [mm] \mu \vektor{ \alpha^{3} - 5\alpha + 10 \\ -\alpha \\ 0 \\ 1 }$
[/mm]
>
> Woher kommen die ganzen Werte für den "hinteren" Vektor?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Das sieht mir nach ziemlichem Murks aus
Die Lösungsgesamtheit eines inhomogenen LGS setzt sich zusammen aus der Summe einer speziellen/partikulären Lösung des inhomogenen LGS und der Lösungsgesamtheit des zugehörigen homogenen Systems
Die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS bildet also einen affinen Unterraum (hier des [mm] \IR^4) [/mm] mit derselben Dimension, die die allg. Lösungsmenge des zugeh. homogenen LGS hat
Hier ist die Matrix A schon in Dreiecksform und hat für [mm] $\alpha\neq [/mm] 2$ vollen Rang, ist also invertierbar, das zugeh. homogene LGS ist also eindeutig lösbar mit dem Nullvektor [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] als Lösung
Das inhomogene LGS ist für [mm] $\alpha\neq [/mm] 2$ also eindeutig lösbar mit dem Lösungsvektor, den Marius errechnet hat
Der Klumpatsch, der da wohl als vermeintliche allg. Lösung des zugeh. homogenen LGS noch dransteht, erscheint mir Unfug zu sein
> Bzw. wie setzt sich die gesamte Lösung zusammen?
>
> Und wie betrachte ich den Fall für [mm]\alpha[/mm] = 2 dann
> seperat?
Das hast du doch durch Einsetzen in deinem ersten post schon getan, du hattest als dritte Zeile $0=1$ erhalten, was nicht geht
Zusammenfassend kannst du sagen: Für [mm] $\alpha=2$ [/mm] ist das LGS unlösbar, für [mm] $\alpha\neq [/mm] 2$ eindeutig lösbar mit dem Lösungsvektor von Marius
>
> Vielen Dank,
> Grüße Johannes
LG
schachuzipus
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