Problem beim Induktionsschritt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeige [mm] I^{(n)}(x):=\bruch{\partial^n}{\partial x^n} \integral_{0}^{1}{e^{tx} dt} [/mm] = [mm] e^x \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{(n-k)!} \bruch{(-1)^k}{x^{k+1}} [/mm] + [mm] n!*\bruch{(-1)^{n+1}}{x^{n+1}} [/mm] |
Der Induktionsanfang, Beweis der Gleichung für n=1, ist kein Problem, aber der Induktionsschritt.
Ich berechne
[mm] I^{(n+1)}(x)=\bruch{\partial}{\partial x} I^{(n)}(x) [/mm] = [mm] e^x \summe_{k=0}^{n} [\bruch{n!}{(n-k)!} \bruch{(-1)^k}{x^{k+1}} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k+1))!} \bruch{(-1)^{k+1}}{x^{(k+1)+1}}] [/mm] + [mm] (n+1)!*\bruch{(-1)^{(n+1)+1}}{x^{(n+1)+1}}
[/mm]
Der letzte Term stimmt ja mit dem letzten Term von der Formel für [mm] I^{(n+1)}(x) [/mm] überein, d.h. man muss noch zeigen, dass
[mm] e^x \summe_{k=0}^{n} [\bruch{n!}{(n-k)!} \bruch{(-1)^k}{x^{k+1}} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k+1))!} \bruch{(-1)^{k+1}}{x^{(k+1)+1}}] [/mm] = [mm] e^x \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(n+1)!}{(n+1-k)!} \bruch{(-1)^k}{x^{k+1}}
[/mm]
und da komme ich nicht weiter. Wenn ich z.B. die Terme mit [mm] 1/x^2 [/mm] rechts und links vergleiche, kommt schon was anderes heraus. Habe ich einen Fehler gemacht oder kann mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 So 17.11.2013 | | Autor: | ullim |
> Ich berechne
> [mm] I^{(n+1)}(x)=\bruch{\partial}{\partial x} I^{(n)}(x)=e^x \summe_{k=0}^{n}\left[\bruch{n!}{(n-k)!} \bruch{(-1)^k}{x^{k+1}}+\bruch{n!}{(n-(k+1))!} \bruch{(-1)^{k+1}}{x^{(k+1)+1}}\right]+(n+1)!*\bruch{(-1)^{(n+1)+1}}{x^{(n+1)+1}}
[/mm]
Das stimmt nich so ganz. Richtig ist
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} I^{(n)}(x)=e^x \summe_{k=0}^{n}\left[\bruch{n!}{(n-k)!} \bruch{(-1)^k}{x^{k+1}}+\bruch{n!}{(n-k)!} \bruch{(-1)^{k+1}}{x^{k+2}}(k+1)\right]+(n+1)!*\bruch{(-1)^{n+2}}{x^{n+2}}
[/mm]
Für den zweiten Term in der Summe eine Indexverschiebung vornehmen, s.d. für diesen Term die Summe mit k=1 beginnt und dann die Terme für k=0 und k=n+1 separat ausrechnen. Es bleibt dann noch eine Summe stehen, die von k=1 bis k=n läuft. Ausgerechnet kommt heraus
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} I^{(n)}(x)=\bruch{e^x}{x}+e^x\summe_{k=1}^{n}\left[\bruch{n!(-1)^k}{x^{k+1}}\left(\bruch{1}{(n-k)!}+\bruch{k}{(n+1-k)!}\right)\right]+(n+1)!\bruch{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}}+(n+1)!\bruch{(-1)^{n+2}}{x^{n+2}}
[/mm]
Wenn das mit der [mm] I^{(n+1)}(x) [/mm] verglichen wird, muss gezeigt werden das
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!}+\bruch{n!*k}{(n+1-k)!}=\bruch{(n+1)!}{(n+1-k)!} [/mm] gilt. Wenn das gezeigt ist, bist Du fertig.
|
|
|
|
