Problem bei Umstellung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beispiele
y'+f(x)*y=0
[mm] \bruch{dy}{dx}=-f(x)*y
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{1}{y}) dy}= \ingetral_{-f(x)}{dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
dies ist keine Aufgabe sondern ein Beispiel aus meinen Skript und was ich daran nicht verstehe ist der Wechsel von y' nach [mm] \bruch{dy}{dx}.
[/mm]
Offensichtlich darf man das so schreiben, aber ich verstehe derzeit nicht auf welcher Basis. Ich weis das sind wahrscheinlich Basics, aber wahrscheinlich habe ich diese verpasst.
Könnte mir da jemand von Euch helfen ein Verständnis aufzubauen?
|
|
| |
|
Hallo,
> dies ist keine Aufgabe sondern ein Beispiel aus meinen
> Skript und was ich daran nicht verstehe ist der Wechsel von
> y' nach [mm]\bruch{dy}{dx}.[/mm]
>
> Offensichtlich darf man das so schreiben, aber ich verstehe
> derzeit nicht auf welcher Basis. Ich weis das sind
> wahrscheinlich Basics, aber wahrscheinlich habe ich diese
> verpasst.
Wohl wahr. 
Also, wie war gleich noch einmal die Ableitung definiert?
[mm]f'(x):=\limes_{h\rightarrow{0}}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm]
G.W. Leibniz, einer der Begründer der modernen Analysis, schrieb das von der Symbolik her etwas anders, und es ist in diesem Zusammenhang sehr hilfreich, sich diese Schreibeweise zu merken:
[mm]f'(x):=\limes_{\Delta{x}\rightarrow{0}}\bruch{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}=\limes_{\Delta{x}\rightarrow{0}}\bruch{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\bruch{dy}{dx} [/mm]
Die eigentliche Besonderheit ist hier die letzte Gleichheit: sie besagt, dass man mit den beiden unendlich klein gewordenen Differenzen im Zähler und im Nenner weiterrechnen kann. Das ist nun nicht so ganz einfach nachvollziehbar, aber das musst du sicherlich auch in diesem Zusammenhang nicht. Leibniz macht hier aus den großen griechischen Delta's (die bekanntlich für Differenzen stehen) in dem Moment kleine deutsche d's, wo diese Differenzen unendlich klein, also infinitesimal geworden sind.
Hilft dir das beim Verständnis der TdV und anderer Techniken zum Lösen von DGLen weiter?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Beispiele
>
> y'+f(x)*y=0
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-f(x)*y[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(\bruch{1}{y}) dy}= \ingetral_{-f(x)}{dx}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> dies ist keine Aufgabe sondern ein Beispiel aus meinen
> Skript und was ich daran nicht verstehe ist der Wechsel von
> y' nach [mm]\bruch{dy}{dx}.[/mm]
Hallo,
Diophant hat zur Schreibweise [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] schon geantwortet.
Wie du dann aber von der Gleichung
$ [mm] \bruch{dy}{dx}=-f(x)\cdot{}y [/mm] $
zu
$ [mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{1}{y}) dy}= \ingetral_{-f(x)}{dx} [/mm] $
kommen willst, ist abenteuerlich. Da ist offenbar
alles Mögliche durcheinander gekommen.
Dies müsste so gehen:
$ [mm] \bruch{dy}{dx}\ [/mm] =\ [mm] -f(x)\cdot{}y [/mm] $
beidseitig mit $\ dx$ multipliziert:
$ \ dy\ =\ [mm] -f(x)\cdot{}y*dx [/mm] $
beidseitig durch $\ y$ dividiert:
$ [mm] \dfrac{dy}{y}\ [/mm] =\ -f(x)*dx $
beidseitig integrieren:
$ [mm] \integral \dfrac{1}{y}\,dy\ [/mm] =\ [mm] -\integral [/mm] f(x)*dx $
LG, Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Eine Frage hätte ich noch...
Warum wird beim Integrieren die Integrationskonstante beim y-Teil weggelassen. Das verwirrt mich ein wenig, da beim unbestimmten Integral die Konstante immer mit aufgeschrieben werden musste (laut meinen Prof.).
|
|
|
| |
|
Hallo v6bastian!
Rein formell und streng gesehen haben sowohl Du als auch Dein Prof Recht.
Wenn Du nun auf beiden Seiten der Gleichung die Integrationskonstante [mm] $+C_1$ [/mm] bzw. [mm] $+C_2$ [/mm] hinzufügst, kannst Du beide Konstanten anschließend (z.B. auf der "x-Seite") zu einer Konstanten [mm] $\underbrace{C_2-C_1}_{=: \ C}$ [/mm] zusammenfassen.
Es wird also quasi nur ein Rechenschritt übersprungen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mi 12.09.2012 | | Autor: | v6bastian |
O.k. danke. Deine Erklärung hat mir gut geholfen.
|
|
|
| |
|
> Eine Frage hätte ich noch...
>
> Warum wird beim Integrieren die Integrationskonstante beim
> y-Teil weggelassen.
Hallo,
da ich in der letzten Zeile meines Beitrags
$ [mm] \integral \dfrac{1}{y}\,dy\ [/mm] =\ [mm] -\integral f(x)\cdot{}dx [/mm] $
beidseitig des Gleichheitszeichens unbestimmte Integrale
stehen hatte, war es auch nicht nötig, dabei zusätzlich
noch Integrationskonstanten hinzuschreiben - eben
genau weil die Integrale noch "unbestimmt" sind.
Erst wenn man dann wirklich die Integration durch
den Übergang zu Stammfunktionen durchführt,
wird es notwendig, die "Unbestimmtheit" durch eine
(für konkrete Beispiele noch festzulegende) Integra-
tionskonstante auszudrücken.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung des AWPs:
[mm] y'=\bruch{2y^{2}}{x^{2}} [/mm] mit [mm] y(1)=\bruch{1}{3} [/mm] |
Würde gerne noch mal kurz bei den Konstanten nachhacken wegen der o.g. Aufgabe...
Habe nach dem trennen folgende Gleichung stehen
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y^{2}} dy}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}} dx}
[/mm]
Nach dem Integrieren:
[mm] -\bruch{1}{2} \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x} [/mm] +c
Wenn ich nun nach y auflösen will muss ich meines Wissen nach beide Therme mit 2 multiplizieren. Die Lösung im Skript zeigt nur die Multiplikation des Teil ohne die Konstante.
Kann es hierbei sein, dass die Konstante wieder mal gegen eine andere getauscht wurde bei die Multiplikation bereits mit eingerechnet wurde oder gibt es da eine andere Regel die ich noch nicht kenne?
|
|
|
| |
|
Hallo v6bastian,
> Berechnen Sie die Lösung des AWPs:
>
> [mm]y'=\bruch{2y^{2}}{x^{2}}[/mm] mit [mm]y(1)=\bruch{1}{3}[/mm]
> Würde gerne noch mal kurz bei den Konstanten nachhacken
> wegen der o.g. Aufgabe...
>
> Habe nach dem trennen folgende Gleichung stehen
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y^{2}} dy}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}} dx}[/mm]
>
> Nach dem Integrieren:
>
> [mm]-\bruch{1}{2} \bruch{1}{y}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x}[/mm] +c
>
> Wenn ich nun nach y auflösen will muss ich meines Wissen
> nach beide Therme
?? was sind Therme ??
> mit 2 multiplizieren. Die Lösung im
> Skript zeigt nur die Multiplikation des Teil ohne die
> Konstante.
>
> Kann es hierbei sein, dass die Konstante wieder mal gegen
> eine andere getauscht wurde bei die Multiplikation bereits
> mit eingerechnet wurde oder gibt es da eine andere Regel
> die ich noch nicht kenne?
Du multiplizierst alles mit -2 und bekommst [mm] $\frac{1}{y}=-2\left(-\frac{1}{x}+c\right)=\frac{2}{x}-{2c}$
[/mm]
Nun kannst du $2c$ (bzw. -2c) durch [mm] $\tilde [/mm] c$ ersetzen. Klar, wieso das geht?
Wie du das aber nun machst, ist letztlich egal. Rechne beide Wege und setze, wenn du nach y aufgelöst hast, die AB ein, um $c$ bzw. [mm] $\tilde [/mm] c$ auszurechnen. Es wird sich dieselbe Lösungsfunktion ergeben ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich kann mir es nicht verkneifen, mich zu wiederholen:
Warum , in aller Welt, muß man eine popelige homogene lineare DGL 1.Ordnung wie
(*) y'=a(x)y
mit Trennung der Veränderlichen Lösen ?? ( dabei soll a eine auf einem Intervall I stetige Funktion sein).
Es gilt mit einer Stammfunktion A von a auf I:
y:I [mm] \to \IR [/mm] ist eine Lösung von (*) auf I [mm] \gdw [/mm] es ex. c [mm] \in \IR [/mm] mit: [mm] y(x)=ce^{A(x)}.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred !
> (*) y'=a(x)y
> ( dabei soll a eine auf einem Intervall I stetige Funktion sein)
> Es gilt mit einer Stammfunktion A von a auf I:
>
> y:I [mm]\to \IR[/mm] ist eine Lösung von (*) auf I [mm]\gdw[/mm] es ex. c
> [mm]\in \IR[/mm] mit: [mm]y(x)=ce^{A(x)}.[/mm]
... und wie kommt man auf diesen Satz ?
Falls der Satz schon vorgegeben ist, durch Nachrechnen,
also Ableiten. Und sonst ?
Dann doch möglicherweise durch Trennung der Variablen,
oder wie anders ?
LG, Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred !
>
> > (*) y'=a(x)y
>
> > ( dabei soll a eine auf einem Intervall I stetige Funktion
> sein)
>
> > Es gilt mit einer Stammfunktion A von a auf I:
> >
> > y:I [mm]\to \IR[/mm] ist eine Lösung von (*) auf I [mm]\gdw[/mm] es ex. c
> > [mm]\in \IR[/mm] mit: [mm]y(x)=ce^{A(x)}.[/mm]
>
>
> ... und wie kommt man auf diesen Satz ?
>
> Falls der Satz schon vorgegeben ist, durch Nachrechnen,
> also Ableiten. Und sonst ?
>
> Dann doch möglicherweise durch Trennung der Variablen,
> oder wie anders ?
>
> LG, Al
Hallo Al,
dass $ [mm] y(x)=ce^{A(x)} [/mm] $ eine Lösung von (*) auf I ist, sieht man durch nachrechnen.
Ist umgekehrt y:I $ [mm] \to \IR [/mm] $ eine Lösung von (*) auf I, so setze
[mm] $f(x):=\bruch{y(x)}{e^{A(x)}}$ [/mm] (x [mm] \in [/mm] I).
f ist auf I differenzierbar und ( wie man leicht sieht) f'(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] I.
Damit ist f auf I konstant. Folglich gibt es ein c mit: $ [mm] y(x)=ce^{A(x)}.$
[/mm]
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
> > Hallo Fred !
> >
> > > (*) y'=a(x)y
> >
> > > ( dabei soll a eine auf einem Intervall I stetige Funktion
> > sein)
> >
> > > Es gilt mit einer Stammfunktion A von a auf I:
> > >
> > > y:I [mm]\to \IR[/mm] ist eine Lösung von (*) auf I [mm]\gdw[/mm] es ex. c
> > > [mm]\in \IR[/mm] mit: [mm]y(x)=ce^{A(x)}.[/mm]
> >
> >
> > ... und wie kommt man auf diesen Satz ?
> >
> > Falls der Satz schon vorgegeben ist, durch Nachrechnen,
> > also Ableiten. Und sonst ?
> >
> > Dann doch möglicherweise durch Trennung der Variablen,
> > oder wie anders ?
> >
> > LG, Al
>
>
> Hallo Al,
>
> dass [mm]y(x)=ce^{A(x)}[/mm] eine Lösung von (*) auf I ist, sieht
> man durch nachrechnen.
>
> Ist umgekehrt y:I [mm]\to \IR[/mm] eine Lösung von (*) auf I, so
> setze
>
> [mm]f(x):=\bruch{y(x)}{e^{A(x)}}[/mm] (x [mm]\in[/mm] I).
>
> f ist auf I differenzierbar und ( wie man leicht sieht)
> f'(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] I.
>
> Damit ist f auf I konstant. Folglich gibt es ein c mit:
> [mm]y(x)=ce^{A(x)}.[/mm]
>
> Gruß FRED
Naja, das ist das, was ich mit "Nachrechnen" auch
gemeint habe. Wenn man aber den Satz eben noch gar
nicht kennt oder längst vergessen hat (wie zum Beispiel ich),
wie kommt man dann selber (wieder) darauf, ohne irgendwo
nachzuschlagen oder nachzufragen ?
Doch eben exakt mittels Separation der Variablen und
Integration, wobei sich herausstellt, warum da überhaupt
eine Exponentialfunktion herauskommen muss !
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo Fred !
> > >
> > > > (*) y'=a(x)y
> > >
> > > > ( dabei soll a eine auf einem Intervall I stetige Funktion
> > > sein)
> > >
> > > > Es gilt mit einer Stammfunktion A von a auf I:
> > > >
> > > > y:I [mm]\to \IR[/mm] ist eine Lösung von (*) auf I [mm]\gdw[/mm] es ex. c
> > > > [mm]\in \IR[/mm] mit: [mm]y(x)=ce^{A(x)}.[/mm]
> > >
> > >
> > > ... und wie kommt man auf diesen Satz ?
> > >
> > > Falls der Satz schon vorgegeben ist, durch Nachrechnen,
> > > also Ableiten. Und sonst ?
> > >
> > > Dann doch möglicherweise durch Trennung der Variablen,
> > > oder wie anders ?
> > >
> > > LG, Al
> >
> >
> > Hallo Al,
> >
> > dass [mm]y(x)=ce^{A(x)}[/mm] eine Lösung von (*) auf I ist, sieht
> > man durch nachrechnen.
> >
> > Ist umgekehrt y:I [mm]\to \IR[/mm] eine Lösung von (*) auf I, so
> > setze
> >
> > [mm]f(x):=\bruch{y(x)}{e^{A(x)}}[/mm] (x [mm]\in[/mm] I).
> >
> > f ist auf I differenzierbar und ( wie man leicht sieht)
> > f'(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] I.
> >
> > Damit ist f auf I konstant. Folglich gibt es ein c mit:
> > [mm]y(x)=ce^{A(x)}.[/mm]
> >
> > Gruß FRED
>
>
> Naja, das ist das, was ich mit "Nachrechnen" auch
> gemeint habe. Wenn man aber den Satz eben noch gar
> nicht kennt oder längst vergessen hat (wie zum Beispiel
> ich),
> wie kommt man dann selber (wieder) darauf, ohne irgendwo
> nachzuschlagen oder nachzufragen ?
> Doch eben exakt mittels Separation der Variablen und
> Integration, wobei sich herausstellt, warum da überhaupt
> eine Exponentialfunktion herauskommen muss !
>
> LG Al
>
Hallo Al,
als "Eselsbrücke" ist natürlich Separation der Variablen ganz nützlich, da gebe ich Dir recht.
Ich habe allerdings in so manchen Büchern gesehen, dass obiger Satz mit Separation der Variablen "bewiesen" wurde, und da wurde ganz schön geschummelt !
Wenn man das mit Separation der Variablen macht , kommt man auf
$ln(|y|)=A(x)+c$,
somit: [mm] $|y(x)|=e^ce^{A(x)}$.
[/mm]
So wird das in obigen Büchern aber nicht gemacht, sonder man bekommt einfach die fertige Formel [mm] $y(x)=Ce^{A(x)}$ [/mm] um die Ohren gehauen, ohne jede Vorsicht und Fallunterscheidung.
Dass man die Lösung y [mm] \equiv [/mm] 0 mit Separation der Variablen nicht bekommt, wird meist gar nicht erwähnt.
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
> als "Eselsbrücke" ist natürlich Separation der Variablen
> ganz nützlich, da gebe ich Dir recht.
So "eselhaft" fühle ich mich gar nicht bei der Anwendung
dieser Methode.
Welche andere Integrationsmethode (die nicht schon
auf speziellem Formelwissen beruht) könntest du denn
vorschlagen, um wirklich auf den Satz zu kommen ?
LG, Al
|
|
|
|
