Problem bei Lösung einer DGL < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 15.05.2009 | | Autor: | skippy09 |
| Aufgabe | | xy' = y(lny-lnx); y(2)=2 |
Hallo, ich habe ein Problem beim Lösen dieser DGL. Durch substitution z=y/x
bekomme ich dz/z (lnz-1) = dx/x
ich komme da auf ln|lnz|-ln|z| = ln|x| +C
da hänge ich dann, kann zwar noch 2* die e-fkt anwenden aber irgendwie haut das nicht hin!! Richtiges Ergebnis soll sein: y(x)=x exp(-x/2+1)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Fr 15.05.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Wegen y(2) =2 ist z(2) = 1, daher kannst Du z> 0 annehmen
2. Deine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{z(ln(z)+1)} [/mm] ist falsch !
Richtig ist: $\ ln(ln(z)+1)$
Versuchs mal mit der Substitution $\ u = ln(z)+1$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 15.05.2009 | | Autor: | skippy09 |
ok, danke schonmal. Dann hänge ich aber leider wieder:
Nach Integrieren beider Seiten erhalte ich die Gleichung:
ln|ln z-1| = ln|x| +C ;
dann mit e-fkt.
z-e = exp(x*C), an dieser Stelle komme ich nicht weiter, da hat sich bestimmt wieder ein Fehler eingeschlichen
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Hallo skippy09,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ok, danke schonmal. Dann hänge ich aber leider wieder:
>
> Nach Integrieren beider Seiten erhalte ich die Gleichung:
>
> ln|ln z-1| = ln|x| +C ;
>
> dann mit e-fkt.
>
> z-e = exp(x*C), an dieser Stelle komme ich nicht weiter, da
> hat sich bestimmt wieder ein Fehler eingeschlichen
Das ist zunächst mal
[mm]\vmat{\ln\left(z\right)-1}=e^{C*x}[/mm]
Es kommt jetzt darauf an, ob [mm]0
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Fr 15.05.2009 | | Autor: | skippy09 |
dieses z ist doch mein y/x ? weis da leider nicht wie ich weiter machen soll um auf das Ergebnis zu kommen
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Hallo skippy09,
> dieses z ist doch mein y/x ? weis da leider nicht wie ich
Ja.
> weiter machen soll um auf das Ergebnis zu kommen
Ok, ich hab mich verschrieben:
[mm]\ln\vmat{\ln\left(z\right)-1}=\ln\vmat{x}+C[/mm]
[mm]\Rightarrow \vmat{\ln\left(z\right)-1}=e^{C}*\vmat{x}[/mm]
Da [mm]x>0[/mm] kannst Du auch schreiben:
[mm]\Rightarrow \vmat{\ln\left(z\right)-1}=e^{C}*x[/mm]
Die Konstante ermittelst Du aus der Bedingung [mm]z\left(2\right)=1[/mm]
Wie gesagt, dann muß man eine Fallunterscheidung für z bzw. y machen.
Für [mm] z \ge e^{1}[/mm] steht dann da: [mm]\ln\left(z\right)-1=e^{C}*x[/mm]
Für [mm]0 < z \le e^{1}[/mm]: [mm]1-\ln\left(z\right)=e^{C}*x[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Fr 15.05.2009 | | Autor: | skippy09 |
wie komme ich damit auf die Form y(x) = x exp(-x/2 +1)?
und für [mm] e^C [/mm] kann ich doch C alleine stehen lassen? Die Aufgabe soll ohne Fallunterscheidung lösbar sein
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Hallo skippy09,
> wie komme ich damit auf die Form y(x) = x exp(-x/2 +1)?
>
> und für [mm]e^C[/mm] kann ich doch C alleine stehen lassen? Die
> Aufgabe soll ohne Fallunterscheidung lösbar sein
Gut, löse diese Gleichung
[mm]1-\ln\left(z\right)=e^{C}*x[/mm] (da [mm] 0 < z < e^{1} [/mm])
nach z auf.
Setze dann für [mm]z=\bruch{y}{x}[/mm]
und multipliziere dann die aufgelöste Gleichung mit x durch.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Fr 15.05.2009 | | Autor: | skippy09 |
wenn ich 1-ln z [mm] =e^c [/mm] *x nach z auflösen will muss ich doch erst -1 auf beiden Seiten,
dann steht da
- ln z = e^(c * x) -1 |e
1/z = e^(c+x) -e |*-1
z = 1/e^(c+x) -1/e |z ersetzen |*x
y = x/e^(c+x) -x/e ????
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Hallo skippy09,
> wenn ich 1-ln z [mm]=e^c[/mm] *x nach z auflösen will muss ich doch
> erst -1 auf beiden Seiten,
>
> dann steht da
>
> - ln z = e^(c * x) -1 |e
Die Gleichung lautet dann:
[mm]-\ln\left(z\right)=e^{C}*x-1[/mm]
>
> 1/z = e^(c+x) -e |*-1
[mm]\bruch{1}{z}=e^{e^{C}*x-1}[/mm]
>
> z = 1/e^(c+x) -1/e |z ersetzen |*x
[mm]z=\bruch{1}{e^{e^{C}*x-1}}=e^{1-e^{C}*x}[/mm]
>
> y = x/e^(c+x) -x/e ????
>
>
Und [mm]z=\bruch{y}{x}[/mm] führt dann auf
[mm]y\left(x\right)=x*e^{1-e^{C}*x}[/mm]
Die Konstante C ist noch zu bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 15.05.2009 | | Autor: | skippy09 |
diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen?
$ [mm] z=\bruch{1}{e^{e^{C}\cdot{}x-1}}=e^{1-e^{C}\cdot{}x} [/mm] $
wenn ich die AW einsetze erhalte ich
2=2 * [mm] e^{1-e^c *2} [/mm] wie kann ich da nach C auflösen? So wie ich es versucht habe müsste ich für c zu bekommen auf der andren Seite der Gleichung ln 0 ausführen, aber das geht ja nicht
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Hallo skippy09,
ich verstehe das so, als wären das zwei Fragen:
1. Warum gilt
>
> [mm]z=\bruch{1}{e^{e^{C}\cdot{}x-1}}=e^{1-e^{C}\cdot{}x}[/mm]
>
???
Bestimmt vernebelt hier das komplexe Denken den Blick für das Einfache:
Einfaches Beispiel: [mm] \bruch{1}{a^{2}} [/mm] = [mm] a^{-2}
[/mm]
Etwas komplizierter: [mm] \bruch{1}{a^{2-x}} [/mm] = [mm] a^{-(2-x)} [/mm] = [mm] a^{x-2}
[/mm]
2. Wie rechne ich c aus?
> wenn ich die AW einsetze erhalte ich
>
> 2=2 * [mm]e^{1-e^c *2}[/mm] wie kann ich da nach C auflösen? So wie
> ich es versucht habe müsste ich für c zu bekommen auf der
> andren Seite der Gleichung ln 0 ausführen, aber das geht ja
> nicht
Auch hier sind es vermutlich nur Flüchtigkeitsfehler, weil es nur noch um einfaches rechnen geht:
2=2 * [mm]e^{1-e^{c} *2}[/mm] |:2
1 = [mm]e^{1-e^{c} *2}[/mm] | ln
0 = [mm] 1-e^{c} [/mm] *2 | + [mm] e^{c} [/mm] *2
[mm] e^{c} [/mm] *2 = 1 | :2
[mm] e^{c} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | ln
c = - ln(2)
[Hinweis: Ich habe die Aufgabe nicht vollständig durchdacht, sondern mich nur auf diese zwei Detailfragen konzentriert, deswegen habe ich evtl. den Faktor 2 bei c*2 falsch interpretiert - aber das ändert am Prinzip der Rechnung nichts.]
Ich hoffe, ich habe die Fragen richtig verstanden... 
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 16.05.2009 | | Autor: | skippy09 |
ok, das habe ich jetzt verstanden! nur ich will die lösung in oben geschriebener Form haben und darauf komm ich leider nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch
$ [mm] y\left(x\right)=x\cdot{}e^{1-e^{C}\cdot{}x} [/mm] $
und aus y(2) = 2 folgt [mm] $e^C [/mm] = 1/2$
Wo ist das Problem ?
FRED
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