Problem bei Induktionschritt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Do 10.05.2007 | | Autor: | Zigainer |
| Aufgabe | Zu zeigen ist mit vollständiger Induktion, das folgendes gilt:
[mm] (f(x)*g(x))^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x) [/mm] |
Hi,
der Induktionsanfang ist noch kein Problem.
Jedoch tue ich mir beim Induktionschritt schwer, habs jetzt fast 2 Stunden lang probiert, komm aber auf keinen grünen Zweig.
Wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schonmal im Voraus
MfG
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Do 10.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
oh, jetzt wird's schwer, weil ich soviel mit dem Formeledito arbeiten muss 
Meines Wissen nach, handelt es sich hierbei um die Leibnizregel.
Induktionsanfang bekommst du hin.
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (f\*g)^{n+1}=((f\*g)')^{n}=(f'g+fg')^{n}=(f'g)^{n}+(fg')^{n}
[/mm]
So, jetzt musst du mit der Induktionsvoraussetzung arbeiten:
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{k}g^{n-k+1}
[/mm]
Jetzt musst du das geschickt umformen, sodass du auf die gewünschte Form kommst. Ich muss zu meiner Schade gestehen, dass ich im Moment nicht drauf komme, wie ich das am Besten umforme, aber ich dachte mir, vielleicht hilft es dir ja weiter.
Du weißt ja jetzt auch, dass es sich um die Leibnizregel handelt, und kannst dann auch mal im Internet recherchieren. Oder erst einmal meinen Ansatz versuchen, weiter zu denken. Bis hierhin ist er richtig. Und du kommst mit der richtigen Umformung auch auf das gewünschte Ergebnis.
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi barsch,
> oh, jetzt wird's schwer, weil ich soviel mit dem
> Formeledito arbeiten muss
> Meines Wissen nach, handelt es sich hierbei um die
> Leibnizregel.
Ja, wobei der Name manchmal auch fuer den Spezialfall $n = 1$ verwendet wird.
> Induktionsanfang bekommst du hin.
>
> Induktionsschritt: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm](f\*g)^{n+1}=((f\*g)')^{n}=(f'g+fg')^{n}=(f'g)^{n}+(fg')^{n}[/mm]
>
> So, jetzt musst du mit der Induktionsvoraussetzung
> arbeiten:
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{k}g^{n-k+1}[/mm]
>
> Jetzt musst du das geschickt umformen, sodass du auf die
> gewünschte Form kommst. Ich muss zu meiner Schade gestehen,
> dass ich im Moment nicht drauf komme, wie ich das am Besten
> umforme, aber ich dachte mir, vielleicht hilft es dir ja
> weiter.
Ganz normal, genau so wie man den binomischen Lehrsatz beweist: man macht ne Indexverschiebung, betrachtet die Faelle [mm] $f^{(n+1)}$ [/mm] und [mm] $g^{(n+1)}$ [/mm] separat und kann damit die verbleibenden beiden Summen zu einer zusammenfuegen. Und dann verwendet man die Additionsregel fuer Binomialkoeffizienten.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:41 Do 10.05.2007 | | Autor: | Zigainer |
Hi,
danke schonmal, habs gard wieder versucht.
Ich kriegs gard leider nur nicht gebacken......
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Fr 11.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann schreib du doch mal auf, wie weit du mit den Vorschlägen gekommen bist, damit man sehen kann wos hakt.
Gruss leduart
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