Problem bei Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe schon alles probiert, weiss aber nicht mehr weiter.
und zwar geht es hierum
[mm] \sum_{k=0}^{n} 2^k*\vektor{n \\ k}=3^n
[/mm]
IA klappt mit n=0
wenn ich n durch n+1 ersetzt habe, komme ich bei der linken Gleichung nicht weiter als:
[mm] \sum_{k=0}^{n} 2^k*\vektor{n+1 \\ k}+2^{n+1}
[/mm]
mein Problem ist einfach das n+1 im binomialkoeffizienten.
Es darf nur n da stehen.
Summenindexverschiebung bringt ja hier auch nichts, weil die das n im Term nicht berührt.
Schonmal danke im vorraus
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
wenn Du die allgemeine binomische Formel
[mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^k b^{n-k}$
[/mm]
zur Hand hast, so folgt Deine Formel sofort für $a=2$ und $b=1$.
Wenn Du diese noch nicht zur Hand hast, so wirst Du hier quasi für eben diese speziellen $a$ und $b$ das ganze induktiv beweisen.
Dabei hast Du in der Tat das von Dir angesprochene Problem. Du kannst aber ausnutzen, dass folgende Gleichheit gilt:
[mm] $(\*)$ [/mm] ${n+1 [mm] \choose [/mm] k}={n [mm] \choose [/mm] k}+{n [mm] \choose [/mm] k-1}$
Das sollte Dir helfen (danach musst Du halt die Summe in 2 Summen aufspalten, Indexshift, Induktionsvoraussetzung usw.)
Wenn Du irgenwo nicht weiterkommst, so kannst Du Dich ein wenig an folgendem orientieren:
Der Beweis zur allgemeinen bin. Formel steht z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Satz 2.12
[mm] ($(\*)$ [/mm] ist dort Satz 2.11)
(Anmerkung zum Beweis zu Satz 2.12:
Diesen Beweis kann man auch "direkter" führen, also ohne zunächst den Beweis für den Spezialfall $y=1$ zu machen. Das hat aber für Dich momentan nur einen ästhetischen Wert, später wird Dir das beim Begriff der Binomialreihe
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Reihe
vll. mal klarer werden, warum das dort so gemacht wurde. Es hängt einfach mit einer Verallgemeinerung zusammen.)
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel,
mit der Formel gehts ja super gut.
Das heisst doch ich habe 3 Möglichkeiten:
1)ohne Induktion
2)mit Induktion, wenn ich vor dem IS schon die Äquvivalenzumformung mache
3)Eine für mich zu komplizierte.
Viele Grüße
Philipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
> Danke Marcel,
> mit der Formel gehts ja super gut.
> Das heisst doch ich habe 3 Möglichkeiten:
>
> 1)ohne Induktion
das kann man so nicht sagen, es sei denn, Du kennst auch einen Beweis für die allgemeine binomische Formel ohne Induktion (so einen gibt es auch, dazu bemüht man dann die Kombinatorik). Denn andernfalls ist der Beweis für die allgemeine binomische Formel vollkommen analog zu dem Induktionsbeweis für die binomische Formel mit diesen speziellen Werten hier, das heißt, die Beweisschritte sind im Wesentlichen die gleichen. Du kannst Dir das ja mal angucken, indem Du Dir anguckst, wie der Beweis zu Satz 2.12 aussieht und ihn mit Deinem für das spezielle $a=2$ und $b=1$ vergleichst.
> 2)mit Induktion, wenn ich vor dem IS schon die
> Äquvivalenzumformung mache
Also analog zum Beweis zur allg. bin. Formel im Skript meinst Du hier wohl?!
> 3)Eine für mich zu komplizierte.
Inwiefern? Meinst Du wegen der Binomialreihe?
Mit der Binomialreihe wollte ich nur andeuten, dass man die binomische Formel in einer allgemeineren Version beweisen kann. Diese beinhaltet dann natürlich die verallgemeinerte binomische Formel als Spezialfall (siehe auch Wiki), welche wiederum Deine Formel als Spezialfall enthält. So gesehen hast Du Recht, aber es genügt eigentlich, wenn Du Dir mal den Induktionsbeweis für die allgemeine binomische Formel anguckst und versuchst, diesen nachzuvollziehen. Danach setzt Du einfach die speziellen Werte ein und erhälst Deine Formel.
Ich meine, wenn Du Deine Formel für speziell $a=2$ und $b=1$ induktiv beweist und vergleichst, was Du dort für Zwischenschritte machst und diese dann mit denen beim Beweis zur verallgemeinerten bin. Formel vergleichst, so siehst Du, dass die Beweise im Wesentlichen vollkommen gleich sind, d.h. in dem einen Beweis läuft eigentlich alles genauso wie in dem anderen.
Gruß,
Marcel
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